Serie di fourier
Come si verifica la convergenza in norma della serie di fourier?? Necessito di tale condizione preliminare prima di proseguire nello sviluppo in serie trigonometrica di fourier. Cercando nel forum c'è una domanda simile a cui non viene data una risposta: http://www.matematicamente.it/forum/convergenza-quadratica-t107350.html
Risposte
Non vorrei sbagliare in genere non sono molto formale. Considera la serie di Fourier:
$ sum_(k = -oo)^oofn*e^(ikx)$
Si dice che converge in norma se:
$ sum_(k = -oo)^oo|fn*e^(ikx)|^2 = sum_(k = -oo)^oo|fn|^2
Gli fn non sono altro che le "componenti" di una funzione f nella base trigonometrica $e^(ikx), k in Z $. Queste sono definite come:
$ fn=(e^(ikx), f(x)) = int _a ^b e^(-ikx)*f(x)dx $
Per cui la serie converge in norma SE $ f(x) in L^2(J) $ con J=(a,b), ossia f(x) è a quadrato sommabile nell'intervallo.
$ sum_(k = -oo)^oofn*e^(ikx)$
Si dice che converge in norma se:
$ sum_(k = -oo)^oo|fn*e^(ikx)|^2 = sum_(k = -oo)^oo|fn|^2
Gli fn non sono altro che le "componenti" di una funzione f nella base trigonometrica $e^(ikx), k in Z $. Queste sono definite come:
$ fn=(e^(ikx), f(x)) = int _a ^b e^(-ikx)*f(x)dx $
Per cui la serie converge in norma SE $ f(x) in L^2(J) $ con J=(a,b), ossia f(x) è a quadrato sommabile nell'intervallo.
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