Serie di Fourier
Ho il seguente esercizio:
Non riesco a capire che valore da a quelle $n^-$ ed $n^+$ per calcolare i limiti:
$f(n^-)=lim_(x->n^-) f(x) = 1$
$f(n^+)=lim_(x->n^+) f(x) = 0$
Ma che valore da a queste $n^-$ ed $n^+$ per poi calcolare i limiti????
Non riesco a capire che valore da a quelle $n^-$ ed $n^+$ per calcolare i limiti:
$f(n^-)=lim_(x->n^-) f(x) = 1$
$f(n^+)=lim_(x->n^+) f(x) = 0$
Ma che valore da a queste $n^-$ ed $n^+$ per poi calcolare i limiti????
Risposte
"stormy":
magari vediamo di capirlo con un esempio
se ad esempio vuoi calcolare $ int_(-1)^(1) x^2 dx $ ,che non è altro che l'area sottesa al grafico di $f(x)=x^2$
si ha che quest'area,come puoi facilmente verificare, è il doppio dell'area sottesa nell'intervallo $[0,1]$ proprio perchè essendo $f(x)$ pari,il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y
Questo esempio e' veramente l'ideale per comprendere il concetto!
Ti ringrazio!
"stormy":
in generale,quando hai una funzione $g(x)$ pari, $ int_(-a)^(a) g(x) dx =2int_(0)^(a) g(x) dx $
Scusami, ma noto che anche quando la funZione e' dispari si opera nello stesso modo, vero????
Ecco un caso:
Puoi darmi per favore una conferma??????
Vale lo stesso metodo del portare fuori l'integrale il valore $2$ e ridurre l'intervallo???
No. Se $f(x)$ è dispari, l'integrazione su intervallo simmetrico è nulla: $int_(-a)^(a)f(x)dx=0$.
"Bad90":
[quote="stormy"]
in generale,quando hai una funzione $ g(x) $ pari, $ int_(-a)^(a) g(x) dx =2int_(0)^(a) g(x) dx $
Scusami, ma noto che anche quando la funZione e' dispari si opera nello stesso modo, vero????
Ecco un caso:
Puoi darmi per favore una conferma??????
Vale lo stesso metodo del portare fuori l'integrale il valore $ 2 $ e ridurre l'intervallo???[/quote]
allora,mettiamo un po' di ordine :
se devi sviluppare in serie di Fourier una $f(x)$ dispari,il suo sviluppo è solo in seni ed,essendo $f(x)sinnx$ pari ,i coefficienti sono uguali a $ 2int_(0)^(pi) f(x)sinnxdx $
viceversa,se $f(x)$ è pari,il suo sviluppo è solo in coseni ed,essendo $f(x)cosnx$ pari,i coefficienti sono uguali a $ 2int_(0)^(pi) f(x)cosnxdx $
Ok, ma pari ho dispari, questo numero $2$ va sempre messo fuori il segno di integrale, giusto?
Mi sembra che accade sia per pari o dispari anche il fatto che l' intervallo iniziale dell'integrale $-pi$ , $pi$ si riduce a $0$ , $pi$ e si mette il $2$ fuori l' integrale, giusto??????
Ma che regola e' che permette di fare questo?????
Mi sembra che accade sia per pari o dispari anche il fatto che l' intervallo iniziale dell'integrale $-pi$ , $pi$ si riduce a $0$ , $pi$ e si mette il $2$ fuori l' integrale, giusto??????
Ma che regola e' che permette di fare questo?????
Se $f(x)$ è pari, allora $int_(-a)^(a)f(x)dx=2int_(0)^(a)f(x)dx$. Questo perché l'intervallo è simmetrico rispetto l'origine e la funzione è simmetrica rispetto l'asse $y$. L'area sottesa nell'intervallo $[-a,0]$ è uguale a quella sottesa nell'intervallo $[0,a]$ perciò l'area complessiva è il doppio di quella sottesa nell'intervallo $[0,a]$.
La logica di questo ragionamento vuole che il fattore $2$ stia all'esterno dell'integrale. In generale, però, una costante può essere portata dentro o fuori l'integrale: $intkf(x)dx=kintf(x)dx$.
Se $f(x)$ è dispari, allora $int_(-a)^(a)f(x)dx=0$. Questo perché $int_(-a)^(0)f(x)dx=-int_(0)^(a)f(x)dx$. Non c'è nessun fattore $2$ da portar fuori in questo caso.
La logica di questo ragionamento vuole che il fattore $2$ stia all'esterno dell'integrale. In generale, però, una costante può essere portata dentro o fuori l'integrale: $intkf(x)dx=kintf(x)dx$.
Se $f(x)$ è dispari, allora $int_(-a)^(a)f(x)dx=0$. Questo perché $int_(-a)^(0)f(x)dx=-int_(0)^(a)f(x)dx$. Non c'è nessun fattore $2$ da portar fuori in questo caso.
"dott.ing":
Se $f(x)$ è pari, allora $int_(-a)^(a)f(x)dx=2int_(0)^(a)f(x)dx$. Questo perché l'intervallo è simmetrico rispetto l'origine e la funzione è simmetrica rispetto l'asse $y$. L'area sottesa nell'intervallo $[-a,0]$ è uguale a quella sottesa nell'intervallo $[0,a]$ perciò l'area complessiva è il doppio di quella sottesa nell'intervallo $[0,a]$.
La logica di questo ragionamento vuole che il fattore $2$ stia all'esterno dell'integrale. In generale, però, una costante può essere portata dentro o fuori l'integrale: $intkf(x)dx=kintf(x)dx$.
Se $f(x)$ è dispari, allora $int_(-a)^(a)f(x)dx=0$. Questo perché $int_(-a)^(0)f(x)dx=-int_(0)^(a)f(x)dx$. Non c'è nessun fattore $2$ da portar fuori in questo caso.
Ok, sei stato chiarissimo! Ti ringrazio.
Scusami, ma allora perche' nella seguente traccia dice : poiche' la funzione e' dispari............, e poi scrive la costante due fuori l'integrale, operando come nel caso in cui la funzione sia pari??????
Se vedi nella terza immagine, alle prime riga, dice proprio:
poiche' e dispari............, e poi fa nello stesso modo che giustamente mi hai detto tu per le funzioni pari????????
Ho il seguente esercizio:
Non sto capendo alla fine quando scrive la serie di Fourier, da dove esce fuori quel $1/2+..$ ??????? E poi il fatto che nella serie finale compare quel $2n+1$ al numeratore e denominatore, questo accade sempre? Che regola e' che inpone questo valore???
P.S. Verrei chiedervi se per favore mi aiutate a capire come lo svolge! Cosi' commentandolo nei suoi step, riusciro a capirlo bene!
Non sto capendo alla fine quando scrive la serie di Fourier, da dove esce fuori quel $1/2+..$ ??????? E poi il fatto che nella serie finale compare quel $2n+1$ al numeratore e denominatore, questo accade sempre? Che regola e' che inpone questo valore???
P.S. Verrei chiedervi se per favore mi aiutate a capire come lo svolge! Cosi' commentandolo nei suoi step, riusciro a capirlo bene!
La traccia dice un'altra cosa.
$f(x)$ è dispari ma nel calcolo dei coefficienti di Fourier devi considerare tutta l'integranda.
Nel caso degli $a_k$ questa è costituita da $f(x)cos(kx)$, che è dispari, in quanto prodotto di funzione dispari e funzione pari.
L'integrale è pertanto nullo e così lo sono anche gli $a_k$.
Nel calcolo dei $b_k$, l'integranda è, invece, $f(x)sin(kx)$, che è pari, in quanto prodotto di due funzioni dispari. Questo giustifica il passaggio al doppio dell'integrale sulla metà dell'intervallo.
$f(x)$ è dispari ma nel calcolo dei coefficienti di Fourier devi considerare tutta l'integranda.
Nel caso degli $a_k$ questa è costituita da $f(x)cos(kx)$, che è dispari, in quanto prodotto di funzione dispari e funzione pari.
L'integrale è pertanto nullo e così lo sono anche gli $a_k$.
Nel calcolo dei $b_k$, l'integranda è, invece, $f(x)sin(kx)$, che è pari, in quanto prodotto di due funzioni dispari. Questo giustifica il passaggio al doppio dell'integrale sulla metà dell'intervallo.
$1/2$ è la metà del coefficiente $a_0$, che vale $1$.
Il termine $2n+1$ serve ad indicare i valori dispari, come abbiamo visto in qualche post precedente.
Il termine $2n+1$ serve ad indicare i valori dispari, come abbiamo visto in qualche post precedente.
"dott.ing":
$1/2$ è la metà del coefficiente $a_0$, che vale $1$.
Ok, ma potresti per favore aiutarmi a capire meglio il perchè ha scritto $1/2$
Data una $f(x)$ periodica di periodo $T$, qual è la sua corrispondente rappresentazione in serie di Fourier?
"dott.ing":
Data una $f(x)$ periodica di periodo $T$, qual è la sua corrispondente rappresentazione in serie di Fourier?
Dici questa:
$f(x+T)$
No, affatto.
Ti sembra una serie quella che hai scritto?
Mi dai la definizione di serie?
Ti sembra una serie quella che hai scritto?
Mi dai la definizione di serie?
"dott.ing":
No, affatto.
Ti sembra una serie quella che hai scritto?
Mi dai la definizione di serie?
Ecco la definizione al seguente link:
http://www.dmi.unisa.it/people/costabil ... ourier.pdf
E penso proprio di aver compreso il perchè del $1/2$, infatti si tratta proprio della serie di Fourier, giusto???
Certamente. Stiamo parlando di serie di Fourier dall'inizio del thread...
$1/2$ è il primo termine della scrittura della $f(x)$ dell'esercizio come serie trigonometrica, ossia il termine $a_0/2$.
$1/2$ è il primo termine della scrittura della $f(x)$ dell'esercizio come serie trigonometrica, ossia il termine $a_0/2$.
"dott.ing":
Certamente. Stiamo parlando di serie di Fourier dall'inizio del thread...
$1/2$ è il primo termine della scrittura della $f(x)$ dell'esercizio come serie trigonometrica, ossia il termine $a_0/2$.
Ti ringrazio per avermi fatto ragionare
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