Serie di Fourier
Ho il seguente esercizio:
Non riesco a capire che valore da a quelle $n^-$ ed $n^+$ per calcolare i limiti:
$f(n^-)=lim_(x->n^-) f(x) = 1$
$f(n^+)=lim_(x->n^+) f(x) = 0$
Ma che valore da a queste $n^-$ ed $n^+$ per poi calcolare i limiti????
Non riesco a capire che valore da a quelle $n^-$ ed $n^+$ per calcolare i limiti:
$f(n^-)=lim_(x->n^-) f(x) = 1$
$f(n^+)=lim_(x->n^+) f(x) = 0$
Ma che valore da a queste $n^-$ ed $n^+$ per poi calcolare i limiti????
Risposte
Mi sembra che prenda n qualsiasi nell'insieme degli interi, no? (Cioè gli estremi di ogni intervallo di periodicità).
Del tipo $lim_(x->2^+) x-[x]=0$, $lim_(x->2^-) x-[x]=1$
Del tipo $lim_(x->2^+) x-[x]=0$, $lim_(x->2^-) x-[x]=1$
"dott.ing":
Mi sembra che prenda n qualsiasi nell'insieme degli interi, no? (Cioè gli estremi di ogni intervallo di periodicità).
Del tipo $lim_(x->2^+) x-[x]=0$, $lim_(x->2^-) x-[x]=1$
Scusami, ma vorrei chiederti se puoi cortesemente farmi vedere gli step che bisogna fare per risolvere questi due limiti???
Del tipo $lim_(x->2^+) x-[x]=0$, $lim_(x->2^-) x-[x]=1$
Non sto riuscendo a capire come sei arrivato a dire che uno è uguale a zero e l'altro è uguale a 1???
...
Sia $n in ZZ$.
Abbiamo $lim_(x->n^+) x-[x]= lim_(x->n^+) x-lim_(x->n^+)[x]=n-n=0$ e $lim_(x->n^-) x-[x]= lim_(x->n^-) x-lim_(x->n^-)[x]=n-(n-1)=1$.
Abbiamo $lim_(x->n^+) x-[x]= lim_(x->n^+) x-lim_(x->n^+)[x]=n-n=0$ e $lim_(x->n^-) x-[x]= lim_(x->n^-) x-lim_(x->n^-)[x]=n-(n-1)=1$.
"dott.ing":
Sia $n in ZZ$.
Abbiamo $lim_(x->n^+) x-[x]= lim_(x->n^+) x-lim_(x->n^+)[x]=n-n=0$ e $lim_(x->n^-) x-[x]= lim_(x->n^-) x-lim_(x->n^-)[x]=n-(n-1)=1$.
Adesso ho compreso!
Ti ringrazio!!!
Ho il seguente esercizio:
Nello svolgimento, non sto riuscendo a capire dopo che scrive:
$ 2/(pin^2) [cosnx]_(pi)^(0) $
Come fa adire che l'espressione $a_n=0$ se $n$ è pari? E come fa a dire che $a_n=(4)/(pin^2)$ se è $n$ dispari???
Ma che tipo di calcoli fa?
Quali sono i calcoli??
E poi non capisco che nomenclatura è quella che permette di dire che $n=2k-1$ indica gli interi dispari???
Nello svolgimento, non sto riuscendo a capire dopo che scrive:
$ 2/(pin^2) [cosnx]_(pi)^(0) $
Come fa adire che l'espressione $a_n=0$ se $n$ è pari? E come fa a dire che $a_n=(4)/(pin^2)$ se è $n$ dispari???
Ma che tipo di calcoli fa?
Quali sono i calcoli??
E poi non capisco che nomenclatura è quella che permette di dire che $n=2k-1$ indica gli interi dispari???
$2/(pin^2)[cos(nx)]_(pi)^0=2/(pin^2)[cos(0)-cos(npi)]=2/(pin^2)[1-cos(npi)]$.
Ora, per $n$ pari $cos(npi)=cos(0)=cos(2pi)=cos(4pi)=...=1$ per cui l'espressione è sempre nulla.
Analogamente se $n$ è dispari otteniamo $cos(pi)=cos(3pi)=cos(5pi)=...=-1$, da cui $2/(pin^2)[1-(-1)]=4/(pin^2)$.
Infine la nomenclatura $n=2k-1$ indica gli interi dispari perché stai sommando (la serie in oggetto) per $k$ interi positivi $(1, 2, 3, ...)$, per cui $n$ assume i valori $2*1-1, 2*2-1, 2*3-1, ...$.
Ora, per $n$ pari $cos(npi)=cos(0)=cos(2pi)=cos(4pi)=...=1$ per cui l'espressione è sempre nulla.
Analogamente se $n$ è dispari otteniamo $cos(pi)=cos(3pi)=cos(5pi)=...=-1$, da cui $2/(pin^2)[1-(-1)]=4/(pin^2)$.
Infine la nomenclatura $n=2k-1$ indica gli interi dispari perché stai sommando (la serie in oggetto) per $k$ interi positivi $(1, 2, 3, ...)$, per cui $n$ assume i valori $2*1-1, 2*2-1, 2*3-1, ...$.
"dott.ing":
$2/(pin^2)[cos(nx)]_(pi)^0=2/(pin^2)[cos(0)-cos(npi)]=2/(pin^2)[1-cos(npi)]$.
Ora, per $n$ pari $cos(npi)=cos(0)=cos(2pi)=cos(4pi)=...=1$ per cui l'espressione è sempre nulla.
Analogamente se $n$ è dispari otteniamo $cos(pi)=cos(3pi)=cos(5pi)=...=-1$, da cui $2/(pin^2)[1-(-1)]=4/(pin^2)$.
Infine la nomenclatura $n=2k-1$ indica gli interi dispari perché stai sommando (la serie in oggetto) per $k$ interi positivi $(1, 2, 3, ...)$, per cui $n$ assume i valori $2*1-1, 2*2-1, 2*3-1, ...$.
E la nomenclatura degli interi pari, qual'è???
P.S. Ti faccio i complimenti in quanto sei veramente bravo in Analisi.
Grazie!
Comunque la questione è molto semplice: nell'esercizio si prendeva $k$ partendo da $1$ ma in genere lo si prende da $0$.
Si ha, quindi, $2k$ pari e $2k+1$ dispari, $k in NN$ (oppure $k in ZZ$ se vuoi considerare anche gli interi negativi).
Comunque la questione è molto semplice: nell'esercizio si prendeva $k$ partendo da $1$ ma in genere lo si prende da $0$.
Si ha, quindi, $2k$ pari e $2k+1$ dispari, $k in NN$ (oppure $k in ZZ$ se vuoi considerare anche gli interi negativi).
Ho un'altro dubbio.....
Penso che tu riuscirai a farmi capire questa cosa........
Se ho la funzione $ f(x)={ ( 2 if x in (0,pi] ),( -2 if x in (-pi, 0] ):} $
Se io ho l'integrale definito che ha il seguente intervallo $-pi$ e $pi$:
$1/(pi) int_(-pi)^(pi) f(x) sin(nx) dx$
Come si fa a farlo diventare con questo intervallo $0$ a $pi$
$2/(pi) int_(0)^(pi) 2 sin(nx) dx$
"Che poi penso si possa scrivere in questo modo: $4/(pi) int_(0)^(pi) sin(nx) dx$"
Che ragionamento si fa per portare quel $2$ al numeratore ed a cambiare l'intervallo $0$ a $pi$
Come ha fatto?
Penso che tu riuscirai a farmi capire questa cosa........
Se ho la funzione $ f(x)={ ( 2 if x in (0,pi] ),( -2 if x in (-pi, 0] ):} $
Se io ho l'integrale definito che ha il seguente intervallo $-pi$ e $pi$:
$1/(pi) int_(-pi)^(pi) f(x) sin(nx) dx$
Come si fa a farlo diventare con questo intervallo $0$ a $pi$
$2/(pi) int_(0)^(pi) 2 sin(nx) dx$
"Che poi penso si possa scrivere in questo modo: $4/(pi) int_(0)^(pi) sin(nx) dx$"
Che ragionamento si fa per portare quel $2$ al numeratore ed a cambiare l'intervallo $0$ a $pi$
Come ha fatto?
Mi sai dare le definizioni di funzione pari e dispari?
Secondo te la $f(x)$ assegnata e $sin(nx)$ sono pari o dispari?
Secondo te la $f(x)$ assegnata e $sin(nx)$ sono pari o dispari?
"dott.ing":
Mi sai dare le definizioni di funzione pari e dispari?
Secondo te la $f(x)$ assegnata e $sin(nx)$ sono pari o dispari?
$f(-x) = sin(-nx)= -sin(nx)$
Quindi è dispari!
Un esempio di funzione pari:
$f(-x) = cos(-nx)= cos(nx)$
Non capisco cosa centra con la mia ultima domanda!
Comunque:
$ f(x)={ ( 2 if x in (0,pi] ),( -2 if x in (-pi, 0] ):} $
Per $f(x)= 2 if x in (0,pi] $ posso dire che $f(-x) = -2$ quindi è dispari.
Per $f(x)=- 2 if x in (-pi,0] $ posso dire che $f(-x) = -(-2)=2$ quindi è pari.
Ho detto bene???
"Bad90":
Ho detto bene???
no
la funzione $f(x)$ è dispari
già questo ci assicura che lo sviluppo in serie di Fourier sarà soltanto in seni
siccome anche $sin(nx)$ è dispari,il prodotto $f(x)sin(nx)$ è pari
in generale,quando hai una funzione $g(x)$ pari, $ int_(-a)^(a) g(x) dx =2int_(0)^(a) g(x) dx $
"stormy":
[quote="Bad90"]Ho detto bene???
no
la funzione $f(x)$ è dispari
già questo ci assicura che lo sviluppo in serie di Fourier sarà soltanto in seni
siccome anche $sin(nx)$ è dispari,il prodotto $f(x)sin(nx)$ è pari
in generale,quando hai una funzione $g(x)$ pari, $ int_(-a)^(a) g(x) dx =2int_(0)^(a) g(x) dx $[/quote]
Scusami, ma tu come hai fatto a fare la verifica per dire che la $f(x) $ e' dispari?????
E poi non mi e' tanto chiaro :
Siccome anche $sin(nx)$ è dispari,il prodotto $f(x)sin(nx)$ è pari!
veramente io ho detto che la $f(x)$ è dispari
infatti $f(-x)=-f(x)$
se $x geq 0 f(x)=2,f(-x)=-2$
infatti $f(-x)=-f(x)$
se $x geq 0 f(x)=2,f(-x)=-2$
Bene, $sin(nx)$ è dispari.
Sulla $f(x)$ c'è un errore: devi considerarla globalmente, non ha senso considerarla separatamente nei due intervalli che hai scritto.
Questo perché:
pari significa $f(x)$=$f(-x)$, ossia la funzione ha una simmetria assiale rispetto l'asse delle ordinate;
dispari significa $f(-x)=-f(x)$, ossia la funzione ha una simmetria centrale.
Nell'intervallo di definizione di $f(x)$ che è tutto l'intervallo $(-pi,pi]$ vale la relazione $f(-x)=-f(x)$, quindi anch'essa è dispari.
Il prodotto delle due è una funzione pari, definita su un intervallo simmetrico rispetto l'origine. Questo ti consente il passaggio da te descritto.
È più chiaro ora?
Sulla $f(x)$ c'è un errore: devi considerarla globalmente, non ha senso considerarla separatamente nei due intervalli che hai scritto.
Questo perché:
pari significa $f(x)$=$f(-x)$, ossia la funzione ha una simmetria assiale rispetto l'asse delle ordinate;
dispari significa $f(-x)=-f(x)$, ossia la funzione ha una simmetria centrale.
Nell'intervallo di definizione di $f(x)$ che è tutto l'intervallo $(-pi,pi]$ vale la relazione $f(-x)=-f(x)$, quindi anch'essa è dispari.
Il prodotto delle due è una funzione pari, definita su un intervallo simmetrico rispetto l'origine. Questo ti consente il passaggio da te descritto.
È più chiaro ora?
"stormy":
veramente io ho detto che la $f(x)$ è dispari
infatti $f(-x)=-f(x)$
se $x geq 0 f(x)=2,f(-x)=-2$
Hai ragione, ho editato il messaggio, ma forse avrai letto quello che ho scritto prima che lo correggessi
per quanto riguarda le funzioni pari e dispari poi accade una cosa analoga alla regola dei segni
non è difficile verificare che
pari X pari =pari
dispari X dispari =pari
pari X dispari =dispari
non è difficile verificare che
pari X pari =pari
dispari X dispari =pari
pari X dispari =dispari
in generale,quando hai una funzione $g(x)$ pari, $ int_(-a)^(a) g(x) dx =2int_(0)^(a) g(x) dx $
Adesso non sto riuscendo a capire cio' che ho quotato!?!?!?
P.s. Ti ringrazio per la pazienza che hai!
magari vediamo di capirlo con un esempio
se ad esempio vuoi calcolare $ int_(-1)^(1) x^2 dx $ ,che non è altro che l'area sottesa al grafico di $f(x)=x^2$
si ha che quest'area,come puoi facilmente verificare, è il doppio dell'area sottesa nell'intervallo $[0,1]$ proprio perchè essendo $f(x)$ pari,il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y
se ad esempio vuoi calcolare $ int_(-1)^(1) x^2 dx $ ,che non è altro che l'area sottesa al grafico di $f(x)=x^2$
si ha che quest'area,come puoi facilmente verificare, è il doppio dell'area sottesa nell'intervallo $[0,1]$ proprio perchè essendo $f(x)$ pari,il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y
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