Serie di Fourier

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Sia $f(x)=1-x$ in $[0,1]$. Trovare la Serie di Fourier del prolungamento dispari in $[-1,1]$.

Svolgimento.
Il prolungamento continuo è
\[f(x)=\begin{cases} 1-x & x\geq 0 \\ -1-x & x<0\end{cases}\]
Sapendo che $f(x)=a_0 + \sum_n^{\+infty}a_n \cos{n\pi x}+\sum_n^{\+infty}b_n \sin{n\pi x}$, ed essendo $f$ pari e dunque $a_n=0$, calcolo:
\[a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) = -\frac{1}{2}\]
su tutto l'intervallo, poi:
\[b_n=\int_{-1}^{1} f(x)\sin{n\pi x}dx\]
che,

per $x\geq 0$, vale

\[b_n = \int_{-1}^{1} (1-x)\sin{n\pi x}dx=\int_{-1}^{1}\sin{n\pi x}dx + \int_{-1}^{1} x\sin{n\pi x}dx\]
Poiché $\int_{-1}^{1}\sin{n\pi x}dx=0$ perché dispari, calcolo
\[b_n = \int_{-1}^{1} x\sin{n\pi x}dx=[-\frac{xcos{n\pi x}}{n\pi}]_{-1}^{1}+ \int_{-1}^{1} \frac{\sin{n\pi x}}{n\pi}=-\frac{2}{n\pi}\]

Analogamente, per $x<0$ ottengo, poiché anche $-\int_{-1}^{1}\sin{n\pi x}dx=0$, ottengo

\[b_n =-\frac{2}{n\pi}\]
Quindi ho che
\[f(x)= -\frac{1}{2} -\sum_n^{\+infty}\frac{2}{n\pi} \sin{n\pi x}.\]
È giusto? Grazie a tutti.
PS. Poiché la funzione è dispari, è vero che i coefficienti dello sviluppo sono sempre uguali per ambo le parti dell'intervallo? Se sì, dunque posso calcolarlo una volta sola, no?
Grazie a tutti.

[gugo82]

"A occhio", sbagli a calcolare i coefficienti.
E, sinceramente, non capisco perché tu voglia distinguere i casi $x>0$ ed $x<0$ nel calcolo dei coefficienti.

Hai:
\[
\begin{split}
b_n &:= \int_{-1}^1 f(x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x \\
&= \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x + \int_{-1}^0 (-1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x\\
&= \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x + \int_1^0 (-1+y)\ \sin (-n\pi y)\ (-1)\ \text{d} y\\
&= \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x + \int_0^1 (1-y)\ \sin (n\pi y)\ \text{d} y\\
&= 2\ \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x\; \ldots
\end{split}
\]

[Sk_Anonymous]

Ho fatto un pastrocchio e me ne rendo conto... Scusate...

[Sk_Anonymous]

"gugo82":"A occhio", sbagli a calcolare i coefficienti.

Hai:
\[
\begin{split}
b_n &:= \int_{-1}^1 f(x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x \\
&= \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x + \int_{-1}^0 (-1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x\\
&= \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x + \int_1^0 (-1+y)\ \sin (-n\pi y)\ (-1)\ \text{d} y\\
&= \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x + \int_0^1 (1-y)\ \sin (n\pi y)\ \text{d} y\\
&= 2\ \int_0^1 (1-x)\ \sin (n\pi x)\ \text{d} x\; \ldots
\end{split}
\]

Hai ragione, me ne sono accorto pochi secondi prima di leggere questo tuo intervento...
Mi vergogno di aver sbagliato questi conti stupidi...