Serie di Fourier

[Lord Rubik]

Salve a tutti! Sto studiando le "Serie di Fourier". In particolar modo sono arrivato al punto in cui viene chiesto quanto segue:

Se $f(x) = ((a_0)/2)*\sum_{k=1}^\infty ((a_k)*cos(kx)+(b_k)*sen(kx))$, cioè sviluppabile in serie trigonometrica, si possono determinare dei coefficienti $a_0, a_k, b_k$ con $kinNN$ tali che la serie $((a_0)/2)*\sum_{k=1}^\infty ((a_k)*cos(kx)+(b_k)*sen(kx))$ converga per ogni $x$$in$$RR$ avendo per somma $f(x)$?

Supposto che $f(x)$ sia integrabile su $[\-pi,pi ]$. Moltiplichiamo prima ambo i membri per $cos(mx)$ (poi per $sin(mx)$), $m$ $in$ $NN$ e integriamo tra $\-pi,pi $.
Svolgendo tutti i passaggi arrivo a questo punto:
$\int_{-pi}^{pi} f(x)*cos(mx) dx$ $=$ $(a_0)/2$ $\int_{-pi}^{pi} cos(mx) dx$ $+$ $\sum_{k=1}^\infty$ $(a_k\int_{-pi}^{pi} cos(kx)*cos(mx) dx$ $+$ $(b_k\int_{-pi}^{pi} sin(kx)*cos(mx) dx)$

Al secondo membro il primo integrale è uguale a $0$. Il terzo integrale altrettanto. Ciò che non capisco è perché il secondo integrale, cioè $\int_{-pi}^{pi} cos(kx)*cos(mx) dx$ è uguale a $0$ se $k!=m$,ed è uguale a $\pi$ se $k=m$.
Il problema è ke mi viene sempre uguale a $0$, nonostante abbia usato la seconda formula di Werner per procedere tranquillamente nell'integrale.
Potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?

[Quinzio]

"Lord Rubik":
$f(x) = ((a_0)/2)*\sum_{k=1}^\infty ((a_k)*cos(kx)+(b_k)*sen(kx))$,
Potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?

occhio che è così:

$f(x) = (a_0)/2 + \sum_{k=1}^\infty ((a_k)*cos(kx)+(b_k)*sen(kx))$

Il primo termine $a_0$ si somma agli altri, non li moltiplica.
Se ti da fastidio fai partire la sommatoria da $k=0$, il seno è 0, il coseno è 1, e ritrovi la formula di partenza.
Non capisco poi il diviso 2 di $a_0$. Il primo termine è la cosiddetta componente continua o costante del segnale.

[Lord Rubik]

Eh sì scusami... è stato un errore di scrittura. Ci voleva il + e nn la moltiplicazione... Il 2 diviso sotto $a_0$ mi è stato dato così nella definizione. Ecco xke ho chiesto aiuto nel capirci qualcosa...

[gugo82]

Prendi \(m\neq k\). Per una delle formule di Werner hai:
\[
\cos mx\ \cos kx = \frac{1}{2}\ \cos (m+k)x + \frac{1}{2}\ \cos (m-k)x
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\int_{-pi}^\pi \cos mx\ \cos kx\ \text{d} x &= \frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi \cos (m+k)x\ \text{d} x + \frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi\cos (m-k)x\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{2(m+k)}\ \sin (m+k)x + \frac{1}{2(m-k)}\ \sin (m-k)x\Big|_{-\pi}^\pi \\
&=0\; .
\end{split}
\]

D'altra parte, se \(k=m\neq 0\), hai:
\[
\cos mx\ \cos kx = \cos^2 kx
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\int_{-\pi}^\pi \cos mx\ \cos kx\ \text{d} x &= \int_{-\pi}^\pi \cos^2 kx\ \text{d} x\\
&= \cancel{\frac{1}{k}\ \sin kx\ \cos kx\Big|_{-\pi}^\pi} + \int_{-\pi}^\pi \sin^2 kx\ \text{d} x\\
&= \int_{-\pi}^\pi \Big( 1-\cos^2 kx \Big)\ \text{d} x\\
&= 2\pi - \int_{-\pi}^\pi \cos^2 kx\ \text{d} x\\
&= 2\pi - \int_{-\pi}^\pi \cos mx\ \cos kx\ \text{d} x
\end{split}
\]
che implica:
\[
\int_{-\pi}^\pi \cos mx\ \cos kx\ \text{d} x= \pi\;
\]
per \(m=k\neq 0\).

Infine se \(m=0=k\), hai:
\[
\cos mx\ \cos kx =1
\]
dunque:
\[
\int_{-\pi}^\pi \cos mx\ \cos kx\ \text{d} x = 2\pi\; .
\]

Ricapitolando:
\[
\int_{-\pi}^\pi \cos mx\ \cos kx\ \text{d} x = \begin{cases} 2\pi &\text{, se } m=k=0\\
\pi &\text{, se } m= k\neq 0\\
0 &\text{, se } m\neq k\; . \end{cases}
\]
Nota che il fattore di normalizzazione \(1/2\) che figura davanti ad \(a_0\) sta lì proprio per il fatto che \(\int_{-\pi}^\pi \cos mx\ \cos kx\ \text{d} x =2\pi\) per \(m=k=0\).

[Lord Rubik]

Wow! Grazie. Mi hai tolto molti dubbi e ho capito tutto! 6 stato molto gentile ed esauriente! Finalmente posso dire di avere chiara la situazione! Grazie ancora!