Serie di fattoriali

[nikismile1]

$ sum_(n = 1)^( oo ) (2n!)/(n!)^2 $

Salve! devo sostenere l'esame di Analisi matematica 2 e ho problemi a dimostrare che questa serie diverge..
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi i passaggi che mi portano a dire che la serie diverge?
Grazie!!

[ghiozzo1]

Hai provato con il criterio del rapporto?

[j18eos]

Se intendi studiare la serie [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2\cdot n!}{(n!)^2}$[/tex] allora tale serie converge ma se, invece, vuoi studiare la serie [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}$[/tex] ti conviene utilizzare la formula di Stirling (se la conosci) oppure il criterio del rapporto!

[nikismile1]

ringrazio entrambi, ho risolto con il criterio del rapporto!! grazie ancora!!

[j18eos]

Prego, di nulla!

[dissonance]

formula di Stirling

Non esageriamo. Quella formula è un bestione difficile da ricordare e tragico da dimostrare. Delle stime per il fattoriale si possono arraffare molto più velocemente con metodi proprio semplici. Eccone una bella rustica che si riuscirebbe a recuperare anche dopo avere abbattuto un muro a capocciate:

[tex]$n^n e^{-n} \le n! \le n^n.[/tex]

La stima dall'alto è totalmente ovvia, quella dal basso viene dalla profonda (!) osservazione

[tex]$e^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!} \ge \frac{n^n}{n!}[/tex]

ovvero, una somma di numeri positivi è più grande di un singolo addendo.

Questa stima è sufficiente a dimostrare che la serie assegnata converge. Infatti abbiamo

[tex]$\frac{n!}{(n!)^2} \le \frac{n^n e^n}{n^n n^n}=\left( \frac{e}{n}\right)^n[/tex]

e, per [tex]n>4[/tex], è [tex]e/n \le 1/2[/tex], cosicché

[tex]$\forall n >4, \quad \frac{2n!}{(n!)^2} \le 2\left( \frac{1}{2} \right)^n[/tex]

quindi la serie assegnata converge per il criterio del confronto.

Per maggiori informazioni sul fattoriale consiglio di cercare "Stirling's formula" sul sito di Terence Tao:

http://terrytao.wordpress.com/

[j18eos]

Non le conoscevo queste stime, sono più gestibili (indubbiamente) della formula di Stirling; per quanto riguarda la sua dimostrazione, almeno quella che conosco io, non è poi tanto tragica!

EDIT @dissonance Mi trovo che così dimostri la convergenza, ma alcuni conti non mi tornano.

[dissonance]

Che conti non ti tornano? Se me lo fai sapere correggo.

Comunque io non ho nulla contro la formula di Stirling, sia chiaro. Solo che quando uno la usa negli esercizi di solito se la richiama dalla memoria e la schiaffa meccanicamente lì per poi procedere ad un'altra chilata di conti fino alla soluzione. Invece una tecnica come quella illustrata qui sforza molto meno la memoria e molto più la creatività. Aggiungo anche che, con ragionamenti appena più fini, si possono ottenere stime per il fattoriale più precise di questa e solo un filo sotto la formula di Stirling. Ne parlai tempo fa con mistake, solo che adesso non trovo la discussione.