Serie di coseni
scusate devo sviluppare $x$ in serie di coseni ma non mi viene il risultato mi fate vedere come fate voi
Risposte
Effettivamente $f(x)=x$ si sviluppa in serie di seni, non di coseni.
Su Wikipedia è spiegato . C'è proprio $f(x)=x$
Su Wikipedia è spiegato . C'è proprio $f(x)=x$
no no si può sviluppare anche i serie di seni dipende l'intervallo in cui la consideri.
Il libro dice $f(x)=x=pi/2-4/pisum_0 ^oo cos((2k+1)x)/(2k+1)^2$ sviluppata in serie di soli coseni.
Io ho provato a calcolarla io calcolandomi il coefficente di Furier con l'integrale ma non mi viene
io trovo che $a_k=2/pi int_0 ^pi xcosk=1/k^2coskpi-1/k^2$.
Grazie in anticipo.
Io ho provato a calcolarla io calcolandomi il coefficente di Furier con l'integrale ma non mi viene
io trovo che $a_k=2/pi int_0 ^pi xcosk=1/k^2coskpi-1/k^2$.
Grazie in anticipo.
A me non viene così: $a_k=1/pi *int_(-pi)^(pi) x*cos(kx) dx $
Senza stare a fare troppi calcoli, si nota che la funzione integranda è dispari (*), quindi, siccome è integratata tra $-pi$ e $pi$, viene $0$
(*) chiamando $g(x)=x*cos(kx)$, si ha
$g(-x)=(-x)*cos(k*(-x))=-x*cos(-kx)=-x*cos(kx)=-g(x)$. Quindi $g(x)$ è una funzione dispari
Senza stare a fare troppi calcoli, si nota che la funzione integranda è dispari (*), quindi, siccome è integratata tra $-pi$ e $pi$, viene $0$
(*) chiamando $g(x)=x*cos(kx)$, si ha
$g(-x)=(-x)*cos(k*(-x))=-x*cos(-kx)=-x*cos(kx)=-g(x)$. Quindi $g(x)$ è una funzione dispari
Per sviluppare [tex]$f(x)=x$[/tex] in serie di coseni [risp. seni] in un intervallo [tex]$[0,A]$[/tex] bisogna dapprima prolungarla in modo pari [risp. dispari] a [tex]$[-A,A]$[/tex] e poi sviluppare in serie di Fourier il prolungamento.
Visto che il prolungamento di [tex]$f(x)$[/tex] è [tex]$\tilde{f}(x)=|x|$[/tex], sviluppando in [tex]$[-A,A]$[/tex] la [tex]$\tilde{f}(x)$[/tex] in serie di Fourier viene fuori una serie di coseni del tipo:
[tex]$\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\ \cos \tfrac{\pi}{A} nx$[/tex],
in cui:
[tex]$a_0=\frac{1}{A} \int_{-A}^{A} \tilde{f}(x)\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{2}{A} \int_0^A x\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=A$[/tex]
e per [tex]$n\geq 1$[/tex]:
[tex]$a_n=\frac{1}{A} \int_{-A}^{A} \tilde{f}(x)\ \cos \tfrac{\pi}{A} nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{2}{A}\int_0^A x\ \cos \tfrac{\pi}{A}nx\ \text{d} x$[/tex] (integrando per parti)
[tex]$=\frac{2A}{n^2\pi^2} [\cos n\pi +n\pi\ \sin n\pi -1]$[/tex]
[tex]$=\frac{2A}{n^2\pi^2} [(-1)^n-1]$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} 0 &\text{, se $n$ è pari} \\ -\frac{4A}{n^2\pi^2} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}$[/tex];
conseguentemente la serie di coseni di [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$[0,A]$[/tex] è:
[tex]$\frac{A}{2}-\frac{4A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}\ \cos \tfrac{\pi (2k+1)}{A}x$[/tex].
Interprentando il risultato del testo che riporti, si capisce che nel caso in esame [tex]$A=\pi$[/tex].
Quindi, squalllionheart, la prossima volta cerca di riportare completamente il testo dell'esercizio e/o cerca di chiarire i possibili punti oscuri del testo.
Visto che il prolungamento di [tex]$f(x)$[/tex] è [tex]$\tilde{f}(x)=|x|$[/tex], sviluppando in [tex]$[-A,A]$[/tex] la [tex]$\tilde{f}(x)$[/tex] in serie di Fourier viene fuori una serie di coseni del tipo:
[tex]$\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\ \cos \tfrac{\pi}{A} nx$[/tex],
in cui:
[tex]$a_0=\frac{1}{A} \int_{-A}^{A} \tilde{f}(x)\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{2}{A} \int_0^A x\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=A$[/tex]
e per [tex]$n\geq 1$[/tex]:
[tex]$a_n=\frac{1}{A} \int_{-A}^{A} \tilde{f}(x)\ \cos \tfrac{\pi}{A} nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{2}{A}\int_0^A x\ \cos \tfrac{\pi}{A}nx\ \text{d} x$[/tex] (integrando per parti)
[tex]$=\frac{2A}{n^2\pi^2} [\cos n\pi +n\pi\ \sin n\pi -1]$[/tex]
[tex]$=\frac{2A}{n^2\pi^2} [(-1)^n-1]$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} 0 &\text{, se $n$ è pari} \\ -\frac{4A}{n^2\pi^2} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}$[/tex];
conseguentemente la serie di coseni di [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$[0,A]$[/tex] è:
[tex]$\frac{A}{2}-\frac{4A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}\ \cos \tfrac{\pi (2k+1)}{A}x$[/tex].
Interprentando il risultato del testo che riporti, si capisce che nel caso in esame [tex]$A=\pi$[/tex].
Quindi, squalllionheart, la prossima volta cerca di riportare completamente il testo dell'esercizio e/o cerca di chiarire i possibili punti oscuri del testo.
Gugo bellissimo, grazie, senti colgo l'occasiosione per un'ulteriore chiarimento, dato che in fisica metematica è molto frequente l'uso delle serie di Furier, equazioni alle derivate parziali ecc ecc... vorrrei capire una cosetta, di solito nei problemi che mi capitano è necessario sviluppare una certa funzione in serie di seni o coseni con un certo argomento, come è successo in questo caso. E la funzione vista in un certo intervallo può essere pari e prolungata in un altro può essere dispari come x che era dispari ma l'abbaimo prolungata come funzione pari usandone il modulo.
La domanda è quando io faccio l'integrale per calcolarmi il coefficente di Furier devo farlo su tutto il prolungamento o solo sull'intervallo iniziale?
La domanda è quando io faccio l'integrale per calcolarmi il coefficente di Furier devo farlo su tutto il prolungamento o solo sull'intervallo iniziale?
Innanzitutto una piccola nota: tieni sempre presente che, se la domanda non è chiara, la risposta difficilmente sarà adeguata; quindi le prossime volte cerca di formulare bene le tue domande.
Potrei liquidare la tua domanda con un neutro ed insignificante "Dipende dai casi", però non voglio farlo; quindi ti esorto a riformulare la domanda oppure a postare qualche esempio chiarificatore.
Potrei liquidare la tua domanda con un neutro ed insignificante "Dipende dai casi", però non voglio farlo; quindi ti esorto a riformulare la domanda oppure a postare qualche esempio chiarificatore.
Praticamente se io la prolungo per renderla pari o dispari rispetto a un punto mi devo fare l'integrale su tutto l'intervallo in cui l'ho prolungata o sull'intervallo iniziale. Esempio $f(x)=x$ non è ne pari ne dispari su $(0,pi)$ ma il suo prolungamento su $(-pi,pi)$ è dispari rispetto all'origine invece se considero come prolungamento di $f(x)=x$ la funzione $g(x)$ che vale $f(x)$ su $(0,pi)$ e vale ad esempio $h(x)=-x$ su $(-pi,0)$ allora il prolungamento di $f(x)$ è pari.
In ogni caso per calcolarmi i coefficenti di Furier di $a_n$ o $b_n$ li devo calcolare su $(0,pi)$ il primo intervallo o sul nuovo intervallo su cui è stata prolungata quindi $(-pi,pi)$.
Spero di essere stata chiara questa volta, il proff non si è spiegato bene, e ho questo tarlo che mi infastidisce...
Grazie in anticipo
In ogni caso per calcolarmi i coefficenti di Furier di $a_n$ o $b_n$ li devo calcolare su $(0,pi)$ il primo intervallo o sul nuovo intervallo su cui è stata prolungata quindi $(-pi,pi)$.
Spero di essere stata chiara questa volta, il proff non si è spiegato bene, e ho questo tarlo che mi infastidisce...
Grazie in anticipo
"squalllionheart":
Praticamente se io la prolungo per renderla pari o dispari rispetto a un punto mi devo fare l'integrale su tutto l'intervallo in cui l'ho prolungata o sull'intervallo iniziale.
Soggetto - predicato - complemento: una frase matematicamente sensata non è diversa da ogni altra della lingua italiana.
Nella frase citata dov'è il complemento oggetto (del predicato "prolungo")?
Inoltre, ti ho chiesto di riportare un esempio di un caso dubbio, così evitiamo di raccontarci cose inutili: dov'è l'esempio?
Ad ogni modo, i coefficienti sono quelli del prolungamento, quindi vanno calcolati sull'intervallo di definizione di quest'ultimo.
ok, grazie.
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