Serie delle derivate
ciao 
ho la serie delle derivate : $ \sum_{n=1}^{oo} (ncos(nx))/(n+logn) $
mi si chiede di dimostrare se essa è derivabile o meno termine a termine in $ℜ$.
so che, per ipotesi, deve convergere uniformemente (teorema di derivazione per serie); mi accingo a trovare l'insieme di convergenza della serie delle derivate partendo dallo studio della convergenza puntuale e dalla ricerca, quindi, di eventuali funzioni somma.
tuttavia il testo risolve affermando che la serie non converge in alcun punto, poichè il termine generale della serie non è mai infinitesimo (non è verificato il "criterio zero" di convergenza di serie (numeriche?)).
mi chiedevo: il testo ha risolto in questo modo perchè, fissata $x∈ℜ$, la serie diviene numerica?
grazie
ho la serie delle derivate : $ \sum_{n=1}^{oo} (ncos(nx))/(n+logn) $
mi si chiede di dimostrare se essa è derivabile o meno termine a termine in $ℜ$.
so che, per ipotesi, deve convergere uniformemente (teorema di derivazione per serie); mi accingo a trovare l'insieme di convergenza della serie delle derivate partendo dallo studio della convergenza puntuale e dalla ricerca, quindi, di eventuali funzioni somma.
tuttavia il testo risolve affermando che la serie non converge in alcun punto, poichè il termine generale della serie non è mai infinitesimo (non è verificato il "criterio zero" di convergenza di serie (numeriche?)).
mi chiedevo: il testo ha risolto in questo modo perchè, fissata $x∈ℜ$, la serie diviene numerica?
grazie
Risposte
No, ha calcolato proprio il limite per $n\to+\infty$ del termine generale, facendo considerazioni su quanto esso valga a seconda del valore di $x$. Infatti
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n\cos(nx)}{n+\log n}=\lim_{n+\infty}\cos(nx)$$
e questo limite non esiste (tranne quando $x=0$ in cui viene costante pari a $1$).
A questo punto puoi affermare che non c'è convergenza puntuale per nessuna $x$.
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n\cos(nx)}{n+\log n}=\lim_{n+\infty}\cos(nx)$$
e questo limite non esiste (tranne quando $x=0$ in cui viene costante pari a $1$).
A questo punto puoi affermare che non c'è convergenza puntuale per nessuna $x$.
Buh non so se questo mio intervento può essere utile:
Si, ma è una cosa banalmente vera per tutte le serie di funzioni. Se uno fissa un punto e valuta tutti gli addendi in quel punto una serie di funzioni diventa una serie numerica. E' una banalità assoluta ma buh, forse era proprio questo il dubbio?
"Suv":
mi chiedevo: il testo ha risolto in questo modo perchè, fissata $x∈ℜ$, la serie diviene numerica?
Si, ma è una cosa banalmente vera per tutte le serie di funzioni. Se uno fissa un punto e valuta tutti gli addendi in quel punto una serie di funzioni diventa una serie numerica. E' una banalità assoluta ma buh, forse era proprio questo il dubbio?
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