Serie criterio radice o rapporto
Ho
$ ((n!)^(n+1)e^(n^2))/n^(n^2+(3n)/2) $
Usando il criterio della radice risulta:
$ ((n!)sqrt(n!)e^n)/((n^n)(n^(3/2))) $
Poi non so cm proseguire
$ ((n!)^(n+1)e^(n^2))/n^(n^2+(3n)/2) $
Usando il criterio della radice risulta:
$ ((n!)sqrt(n!)e^n)/((n^n)(n^(3/2))) $
Poi non so cm proseguire
Risposte
utilizza la formula di stirling $n\to \infty$ allora $n!\sim n^n*e^(-n)*sqrt(2\pi*n)$
hai inserito un $sqrt(n!)$ di troppo
@link19: Al posto di [tex]$\sqrt{n!}$[/tex] andrebbe inserito un [tex]$\sqrt[n]{n!}=(n!)^\frac{1}{n}$[/tex].
Ma perchè non provi il classico criterio di confronto asintotico, usando per esempio $1/n^2$ e poi utilizzando il classico logaritmo naturale?
Vedi se ti convince:
$(n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2))$ Questi sono i termini della tua serie.
Adesso proviamo ad utilizzare il criterio asintotico: $((n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2)))/(1/n^2) = (n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2-2))$
Andiamo a calcolare il limite $lim_(n->oo) (n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2-2)) = lim_(n->oo) e^ln((n!^(n+1) *e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2-2))) =$
$=lim_(n->oo) e^((n+1)*ln(n!) + n^2 - (n^2+3n/2-2)*ln(n))$ Concentriamoci sull'esponente dell'esponenziale, vediamo se diverge a $-oo$ o ad un limite finito, se si allora la serie converge. $lim_(n->oo) (n+1)*ln(n!) + n^2 - (n^2+3n/2-2)*ln(n) = $
$= lim_(n->oo) [(n+1)*ln(n!)/(n^2) + 1 - ln(n) - ln(n)*(3/(2n) -2/n^2)]*n^2 $
L'ultimo elemento nella parentesi quadra tende a zero e lo ignoriamo, anche l'uno lo ignoriamo, concentriamoci su questa:
$lim_(n->oo) ((n+1)*ln(n!))/(n^2) - ln(n) = lim_(n->oo) [(-1*(n+1)*ln(n!))/(ln(n)*n^2) +1 ]* (- ln(n)) < 0$
PS
Non lasciarti ingannare dalla lunghezza delle formule, si fa a mente, se devi scriverlo ovviamente la cosa diventa lunga, anche se con il copia incolla si fa miracoli.
Vedi se ti convince:
$(n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2))$ Questi sono i termini della tua serie.
Adesso proviamo ad utilizzare il criterio asintotico: $((n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2)))/(1/n^2) = (n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2-2))$
Andiamo a calcolare il limite $lim_(n->oo) (n!^(n+1) * e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2-2)) = lim_(n->oo) e^ln((n!^(n+1) *e^(n^2))/(n^(n^2+3n/2-2))) =$
$=lim_(n->oo) e^((n+1)*ln(n!) + n^2 - (n^2+3n/2-2)*ln(n))$ Concentriamoci sull'esponente dell'esponenziale, vediamo se diverge a $-oo$ o ad un limite finito, se si allora la serie converge. $lim_(n->oo) (n+1)*ln(n!) + n^2 - (n^2+3n/2-2)*ln(n) = $
$= lim_(n->oo) [(n+1)*ln(n!)/(n^2) + 1 - ln(n) - ln(n)*(3/(2n) -2/n^2)]*n^2 $
L'ultimo elemento nella parentesi quadra tende a zero e lo ignoriamo, anche l'uno lo ignoriamo, concentriamoci su questa:
$lim_(n->oo) ((n+1)*ln(n!))/(n^2) - ln(n) = lim_(n->oo) [(-1*(n+1)*ln(n!))/(ln(n)*n^2) +1 ]* (- ln(n)) < 0$
PS
Non lasciarti ingannare dalla lunghezza delle formule, si fa a mente, se devi scriverlo ovviamente la cosa diventa lunga, anche se con il copia incolla si fa miracoli.
Vorrei farti osservare questo:
$-1<=lim_(n->oo) (-1*(n+1)*ln(n!))/(ln(n)*n^2) < 0$ Ma tende al suo limite sempre per valori maggiori di $-1$ e minori di $0$ .
Considera infatti che $ln(n!) = ln(n) + ln(n-1) + ....+ln(2)$ e tieni presente che $(n+1)/n^2 \sim 1/n$ per $n$ sufficientemente grande.
Inoltre considera che che $ln(n!)/(n*ln(n)) = (ln(n) + ln(n-1) + ....+ln(2)) /(n* ln(n)) < 1$ Per ogni $n$
Quindi hai sempre un valore positivo che moltiplica il $-ln(n)$ che è sempre negativo tranne in $1$ ove vale $0$.
Il limite superiore della successione del confronto asintotico è quindi minore di $1$ e allora puoi concludere che la serie converge.
Insomma non proprio il massimo come dimostrazione.
$-1<=lim_(n->oo) (-1*(n+1)*ln(n!))/(ln(n)*n^2) < 0$ Ma tende al suo limite sempre per valori maggiori di $-1$ e minori di $0$ .
Considera infatti che $ln(n!) = ln(n) + ln(n-1) + ....+ln(2)$ e tieni presente che $(n+1)/n^2 \sim 1/n$ per $n$ sufficientemente grande.
Inoltre considera che che $ln(n!)/(n*ln(n)) = (ln(n) + ln(n-1) + ....+ln(2)) /(n* ln(n)) < 1$ Per ogni $n$
Quindi hai sempre un valore positivo che moltiplica il $-ln(n)$ che è sempre negativo tranne in $1$ ove vale $0$.
Il limite superiore della successione del confronto asintotico è quindi minore di $1$ e allora puoi concludere che la serie converge.
Insomma non proprio il massimo come dimostrazione.
in questo esercizio dovrei usare solo il criterio del rapporto o quello della radice
Allora ti può salvare stirling.
il limite viene $sqrt(2*pi)/e <1$ converge.
il limite viene $sqrt(2*pi)/e <1$ converge.
$ lim_(n ->+infty)1/e(2pi)^(1/(2n))n^(1/(2n))lim_(n ->+infty)(2pi)^(1/2) $
so arrivato quì, ma non riesco a continuare
so arrivato quì, ma non riesco a continuare
E allora sei arrivato! ti viene uguale a me.
ti viene uguale a me.
ho risolto. Grazie dell'aiuto
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