[Serie] Criterio Integrale

[hamming_burst]

Salve,
vorrei chiedere un aiuta, e capire se i passaggi che ho fatto sono corretti.

Avendo questa serie, voglio studiarne il carattere tramite criterio integrale:

$sum_{k=1}^infty 1/(k*ln(k))$

$sum_{k=1}^infty 1/(k*ln(k)) >= int_{1}^infty 1/(k*ln(k))dk$

che è un integrale improprio, che calcolo tramite

$int_{1}^(+infty) 1/(k*ln(k))dk =^(def) lim_(t->(+infty)) int_{1}^t 1/(t*ln(t))dt$

trovo la relativa funzione per l'integrale, se esite

$int_{1}^t 1/t *(1/ln(t))dt$ sosituisco $ln(t) = p \ ,\ t = e^p\ ,\ dt = e^pdp$

$int_{1}^p 1/p *(e^p/e^p)dp = int_{1}^p 1/p dp = ln(|p|)$ sostituisco $ln(ln(t))$ (il valore assoluto che fine fà?, direi che lo tolgo essendo che lavoro verso l'infinito positivo, non so)

Perciò: $lim_(t->(+infty)) int_{1}^t 1/(t*ln(t))dt = lim_(t->(+infty)) ln(ln(t)) = +infty$

che è un limite infinito, dunque l'integrale non converge, e implica che anche la serie non è convergente.


Vorrei chiedervi se i passaggi che ho fatto sono corretti, essendo che sto ripassando un po' di tutto.

Ringrazio chi aiuta

[Antimius]

Stai attento agli estremi di integrazione: quando a fine integrale effettui di nuovo la sostituzione $p=ln(t)$ hai soltanto calcolato la primitiva (chiamiamola $F(t)$) della funzione integranda (chiamiamola $f(t)$), tramite integrazione indefinita. Successivamente, puoi, grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale, dire che l'integrale definito di $f(t)$ tra $1$ e $b$ (ho cambiato nome al secondo estremo di integrazione, per non confonderci con la variabile d'integrazione $t$) è uguale a $F(b)-F(1)$. Dopodiché calcoli il limite per $bto+infty$ per estendere l'integrazione all'intervallo illimitato.
Il tuo errore consiste nell'aver calcolato l'integrale definito prima di aver effettuato la sostituzione inversa, in modo da ottenere la primitiva in funzione di $t$. Lo puoi fare (anzi, è più comodo) ma devi ricordarti di cambiare estremi di integrazione.
Tieni conto che, se effettui una sostituzione del tipo $t=g(p)$, hai:
$int_{a}^(b) f(t)dt = int_{c}^(d) f(g(p))g'(p)dp$ con $c,d$ tali che $g(c)=a$ e $g(d)=b$.
Prova a ricalcolarlo tenendo conto di questo fatto.

[hamming_burst]

aah guarda guarda che errore, hai ragione.
Ho applicato male l'integrazione per sostituzione, grazie mille, riprovo e correggo

[hamming_burst]

Riproviamo la sotituzione:

$int_{1}^(+infty) 1/(k*ln(k))dk =^(def) lim_(t->(+infty)) int_{1}^t 1/(k*ln(k))dk$

trovo la relativa funzione per l'integrale, se esite

$int_{1}^t 1/k *(1/ln(k))dk$ sosituisco $ln(k) = p \ ,\ k = e^p\ ,\ dk = e^pdp$ con estremi $k=1 | p=ln(1)=0\ ,\ k=t |p=ln(t)$

$int_{0}^(ln(t)) 1/p *(e^p/e^p)dp = int_{0}^(ln(t)) 1/p dp = int_{0}^1 1/p dp + int_{1}^(ln(t)) 1/p dp$

Perciò: $lim_(t->(+infty)) int_{0}^1 1/p dp + int_{1}^(ln(t)) 1/p dp = lim_(t->(+infty)) +infty + (ln(ln(t)) - ln(1)) = +infty + +infty - 0 = +infty$

che è un limite infinito, dunque l'integrale non converge, e implica che anche la serie non è convergente.


Dovrebbe essere a posto adesso, spero

[ciampax]

C'è un problema di fondo ben più complesso. tu continui a considerare come unico punto "problematico" per l'integrazione solo $+\infty$... ma $\ln(1)=0$!!!!!

[hamming_burst]

"ciampax":C'è un problema di fondo ben più complesso. tu continui a considerare come unico punto "problematico" per l'integrazione solo $+\infty$... ma $\ln(1)=0$!!!!!

mmm non saprei in che punto intendi, penso quando sostituisco, potresi essere più chiaro, per capirci

[pater46]

intende dire che, così, su due piedi, dire $ int_0^1 1/p dp = +oo$ è sbagliato perchè in generale $ int_0^1 1/p dp $ non ha senso, in quanto l'integranda non è definita in $[0,1]$.

Questo problema trae la sua origine, ovviamente, dal fatto che sin dal primo passaggio hai ignorato la discontinuità in 1 del logaritmo.

Tecnicamente, fissato $c>1$, avresti dovuto considerare:

$int_1^(+oo) 1/(xlnx) dx = lim_{epsilon -> 1} int_epsilon^c 1/(xlnx) dx + int_c^(+oo) 1/(xlnx) dx$

e partire da qui.

[hamming_burst]

Ah ok non avevo idea di fare in questo modo, ringrazio.

Ma ho notato un'altra cosa, prima che leggessi il messaggio di "pater46", che con la sua risposta forse evita questo problema.

la serie originale $sum_{k=1}^infty 1/(k*ln(k))$ parte da 1, e se si inizia a calcorare c'è già una divisone per 0, anche questo non è un problema?


EDIT: e infatti sono un pirla perchè inzia da 2 chiedo scusa...

e scommetto che "ciampax" si riferiva a questo...
meglio che rifaccia da capo, la serie corretta è $sum_{k=2}^infty 1/(k*ln(k))$

[pater46]

Si hai ragione. Il testo in se non aveva senso

[hamming_burst]

Riproviamo da capo:

$sum_{k=2}^infty 1/(k*ln(k))$

$sum_{k=2}^infty 1/(k*ln(k)) >= int_{2}^infty 1/(k*ln(k))dk$

che è un integrale improprio, che calcolo tramite

$int_{2}^(+infty) 1/(k*ln(k))dk =^(def) lim_(t->(+infty)) int_{2}^t 1/(k*ln(k))dk$

trovo la relativa funzione per l'integrale, se esite

$int_{2}^t 1/k *(1/ln(k))dk$ sosituisco $ln(k) = p \ ,\ k = e^p\ ,\ dk = e^pdp$ con estremi $k=2 | p=ln(2)\ ,\ k=t |p=ln(t)$

$int_{ln(2)}^(ln(t)) 1/p *(e^p/e^p)dp = int_{ln(2)}^(ln(t)) 1/p dp$

Perciò: $lim_(t->(+infty)) int_{ln(2)}^(ln(t)) 1/p dp = lim_(t->(+infty)) ln(ln(t)) - ln(ln(2)) = +infty$

che è un limite infinito (speriamo), dunque l'integrale non converge, e implica che anche la serie non è convergente.


Adesso dovrebbe essere tutto ok, altre problematiche di integrazione o condizioni viollate non ne vedo. che ne dite?

[Antimius]

Mi sembra tutto ok