Serie - Criterio di Leibniz
Qui il teorema:
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pi ... 181413.jpg
Non capisco: perchè le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso?(e non per difetto, come pare a me)
Sotto dice anche che la somma delle ridotte parziali di indice pari è decrescente...perchè?
A me pare crescente!
Infatti nell'estratta di indice pari abbiamo $( -1)^n=1$, quindi la serie diventa a termini positivi.
E' chiaro che le due domande sono strettamente collegate.
Se ho la serie $1/n$ questa è decrescente, ma se costruisco la successione delle somme parziali di indice pari
S0: 1/2
S1: 1/2+1/4
Questa successione cosi costruita (anche per i motivi sudetti) è crescente no?
Dov'è che mi sto clamorosamente confondendo?
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pi ... 181413.jpg
Non capisco: perchè le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso?(e non per difetto, come pare a me)
Sotto dice anche che la somma delle ridotte parziali di indice pari è decrescente...perchè?
A me pare crescente!
Infatti nell'estratta di indice pari abbiamo $( -1)^n=1$, quindi la serie diventa a termini positivi.
E' chiaro che le due domande sono strettamente collegate.
Se ho la serie $1/n$ questa è decrescente, ma se costruisco la successione delle somme parziali di indice pari
S0: 1/2
S1: 1/2+1/4
Questa successione cosi costruita (anche per i motivi sudetti) è crescente no?
Dov'è che mi sto clamorosamente confondendo?
Risposte
Curiosità: che libro è? Non è il Giusti...
Ad ogni modo, non è vero che l'estratta dalla successione delle somme parziali di indice pari [risp. dispari] si ottenga sommando solo gli addendi aventi indice pari [risp. dispari]!
Meglio che vai a rivederti le definizioni dei successione delle somme parziali e di successione estratta.
Inoltre, basta fare una prova per vedere che il teorema può funzionare.
Prendiamo [tex]$\sum \tfrac{(-1)^n}{2^n}$[/tex] la quale, come si sa, converge a [tex]$s:=\frac{1}{1+\tfrac{1}{2}} =\frac{2}{3}$[/tex]; abbiamo:
[tex]$s_0=1>s$[/tex]
[tex]$s_1=s_0-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
[tex]$s_2=s_1+\frac{1}{4} =\frac{3}{4}>s$[/tex]
[tex]$s_3=s_2-\frac{1}{8} =\frac{5}{8}
[tex]$s_4=s_3+\frac{1}{16} =\frac{11}{16} >s$[/tex]
[tex]$s_5=s_4-\frac{1}{32} =\frac{21}{32}
etc...
Ad ogni modo, non è vero che l'estratta dalla successione delle somme parziali di indice pari [risp. dispari] si ottenga sommando solo gli addendi aventi indice pari [risp. dispari]!
Meglio che vai a rivederti le definizioni dei successione delle somme parziali e di successione estratta.
Inoltre, basta fare una prova per vedere che il teorema può funzionare.
Prendiamo [tex]$\sum \tfrac{(-1)^n}{2^n}$[/tex] la quale, come si sa, converge a [tex]$s:=\frac{1}{1+\tfrac{1}{2}} =\frac{2}{3}$[/tex]; abbiamo:
[tex]$s_0=1>s$[/tex]
[tex]$s_1=s_0-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
[tex]$s_2=s_1+\frac{1}{4} =\frac{3}{4}>s$[/tex]
[tex]$s_3=s_2-\frac{1}{8} =\frac{5}{8}
[tex]$s_4=s_3+\frac{1}{16} =\frac{11}{16} >s$[/tex]
[tex]$s_5=s_4-\frac{1}{32} =\frac{21}{32}
etc...
"gugo82":
Curiosità: che libro è? Non è il Giusti...
Ad ogni modo, non è vero che l'estratta dalla successione delle somme parziali di indice pari [risp. dispari] si ottenga sommando solo gli addendi aventi indice pari [risp. dispari]!
Meglio che vai a rivederti le definizioni dei successione delle somme parziali e di successione estratta.
etc...
Hai ragione, ho fatto molta confusione prima, grazie.
Ah, il libro era il Salsa - Pagani, ciao.
p.s.
Comunque trovo i ragionamenti sulle serie un pochino ostici, non so se è oggettivo oppure è perchè non ci sono abituato...
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