Serie, convergenza e divergenza

[ballerina90]

ciao a tutti!
vi chiedo aiuto su questo esercizio perchè dopo averlo svolto nel confrontarlo con la soluzione che dava la mia prof mi viene esattamente il contrario!!!

$sum_(n = 1)^(+oo)$ $root(2)(n)$ $tg( (2+cos n)/(n+1))$

io ho detto che quella quantità per $n->+oo$ è all'incirca uguale a $root(2)(n)$ che a sua volta è $>= 1/n$
quest'ultima diverge e quindi diverge anche la serie iniziale!

secondo voi è giusto questo ragionamento???
grazie

[pater46]

Sono appena tornato dalle vacanze, prendi un pò con le pinze quello che ti scrivo e vediamo se penso bene:

l'argomento della tangente è infinitesimo per $n -> + oo$.

Da ciò possiamo dedurre che, per lo sviluppo in serie della tangente, all'infinito hai:

$ \sqrt{n} tan( (2+cosn)/(n+1) ) \approx \sqrt{n} (2+cosn)/(n+1) $.

Un'ulteriore considerazione sugli ordini di infinito ci dice che

$ \sqrt{n} (2+cosn)/(n+1) \approx (2+cosn)/\sqrt{n} $ all'infinito

ed allora, minorando questa serie tramite una rapida considerazione sul valore minimo assumibile dal numeratore ( 1 ) abbiamo che:

$ sum \sqrt{n} tan( (2+cosn)/(n+1) ) $ ha lo stesso carattere di $ sum 1/\sqrt{n} $

che, essendo serie armonica con $\alpha = 1/2$, diverge.

[Steven11]

Altrimenti, in alternativa alla risoluzione di pater46, si poteva procedere con diseguaglianze

Nell'intervallo [tex]$\big{[}0,\frac{\pi}{2} \big{)}$[/tex] vale [tex]$\tan x\ge x$[/tex] quindi

[tex]$ \sqrt{n}\cdot \tan { \frac{2+\cos n}{n+1} \ge \sqrt{n}\cdot\frac{2+\cos n}{n+1}\ge \frac{\sqrt{n}}{n+1} $[/tex] da cui la facile conclusione.

(ho usato che per ogni [tex]$n$[/tex] si ha banalmente [tex]$2+\cos n \ge 1$[/tex]).

[ballerina90]

ok grazie mille!!! ora ho capito!
siete sempre molto gentili!!!