Serie convergenti e divergenti
Salve, ho un dubbio che non riesco a risolvere: perché se \(\displaystyle \sum 1/k^2 \) è convergente (e lo giustifco col fatto che all'aumentare di k il numeratore diventa sempre più piccolo) invece \(\displaystyle \sum 1/k \) è divergente?
Non dovrebbero avere lo stesso comportamento?
Non dovrebbero avere lo stesso comportamento?
Risposte
No, le serie nella forma $ sum_(n = 1)^(+oo ) 1/n^alpha $ si chiamano serie armoniche generalizzate che convergono solo se $alpha >1$, mentre divergono positivamente, cioè a $ +oo $, se $ alpha <=1$
Eh no. Il fatto che il termine generico tenda a decrescere quando \( n \to + \infty \) non implica che la serie sia convergente; è una condizione necessaria ma non sufficiente. La convergenza di \( \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \) e la divergenza di \( \sum_{n =1}^{+\infty} \frac{ 1}{n} \) si dimostrano in un altro modo. Quasi tutti i libri di Analisi 1 lo riportano; se non lo trovi, lo scrivo qui 
"Berationalgetreal":
Eh no. Il fatto che il termine generico tenda a decrescere quando \( n \to + \infty \) non implica che la serie sia convergente; è una condizione necessaria ma non sufficiente. La convergenza di \( \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \) e la divergenza di \( \sum_{n =1}^{+\infty} \frac{ 1}{n} \) si dimostrano in un altro modo. Quasi tutti i libri di Analisi 1 lo riportano; se non lo trovi, lo scrivo qui
Se puoi saresti gentilissimo, grazie
Allora:
\[ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots \\ &> 1 + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{{} = 1} + \underbrace{\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}_{{} = 1} + \dots \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + \dots \end{aligned}\]
Quindi, abbiamo trovato che:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} > \sum_{ n = 1}^{+ \infty} 1 = \lim_{n \to + \infty} {n} = + \infty \]
Dal criterio del confronto dalle serie (oppure, se vuoi, dal criterio del confronto tra i limiti), se ne deduce che la serie \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} \) diverge. Con l'altra facciamo in maniera molto simile, ma maggiorando:
\[ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} &= 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49} + \frac{1}{64} + \dots + \frac{1}{225} + \frac{ 1}{256} + \dots \\ &< 1 + \underbrace{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{{} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{16} + \frac{ 1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}_{{} = \frac{1}{4}} + \underbrace{\frac{ 1}{64} + \dots + \frac{1}{64}}_{{} = \frac{1}{8}} + \frac{1}{256} + \dots \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \end{aligned}\]
Quindi, in questo caso:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} < \sum_{n = 0}^{+\infty} \left (\frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2}} = 2 \]
Dunque, per il criterio del confronto, la serie \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} \) converge. In particolare (ma questa è più che altro un approfondimento), Eulero dimostrò che converge a \( \frac{\pi^2}{6} \); la faccenda è nota sotto il nome di "Problema di Basilea".
Ci sono anche altri modi per dimostrare la divergenza della prima e la convergenza della seconda. Con il criterio di condensazione di Cauchy, dopo aver dimostrato che entrambi i termini generici sono decrescenti:
\[ \sum_{ n = 0}^{ + \infty} \frac{1}{n} < + \infty \iff \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^n}{2^n} < + \infty \]
Da cui deriva subito che \( \sum_{ n = 0}^{ + \infty} \frac{1}{n} \) diverge. Ed ancora:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} < + \infty \iff \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^n}{ 2^{2n}} < + \infty \]
Anche in questo caso, è immediato concludere che \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} \) converge.
Ci sono altri modi ancora, ma questi sono quelli che mi sembrano più immediati, soprattutto il primo.
\[ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots \\ &> 1 + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{{} = 1} + \underbrace{\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}_{{} = 1} + \dots \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + \dots \end{aligned}\]
Quindi, abbiamo trovato che:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} > \sum_{ n = 1}^{+ \infty} 1 = \lim_{n \to + \infty} {n} = + \infty \]
Dal criterio del confronto dalle serie (oppure, se vuoi, dal criterio del confronto tra i limiti), se ne deduce che la serie \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} \) diverge. Con l'altra facciamo in maniera molto simile, ma maggiorando:
\[ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} &= 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49} + \frac{1}{64} + \dots + \frac{1}{225} + \frac{ 1}{256} + \dots \\ &< 1 + \underbrace{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{{} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{16} + \frac{ 1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}_{{} = \frac{1}{4}} + \underbrace{\frac{ 1}{64} + \dots + \frac{1}{64}}_{{} = \frac{1}{8}} + \frac{1}{256} + \dots \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \end{aligned}\]
Quindi, in questo caso:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} < \sum_{n = 0}^{+\infty} \left (\frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2}} = 2 \]
Dunque, per il criterio del confronto, la serie \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} \) converge. In particolare (ma questa è più che altro un approfondimento), Eulero dimostrò che converge a \( \frac{\pi^2}{6} \); la faccenda è nota sotto il nome di "Problema di Basilea".
Ci sono anche altri modi per dimostrare la divergenza della prima e la convergenza della seconda. Con il criterio di condensazione di Cauchy, dopo aver dimostrato che entrambi i termini generici sono decrescenti:
\[ \sum_{ n = 0}^{ + \infty} \frac{1}{n} < + \infty \iff \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^n}{2^n} < + \infty \]
Da cui deriva subito che \( \sum_{ n = 0}^{ + \infty} \frac{1}{n} \) diverge. Ed ancora:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} < + \infty \iff \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^n}{ 2^{2n}} < + \infty \]
Anche in questo caso, è immediato concludere che \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} \) converge.
Ci sono altri modi ancora, ma questi sono quelli che mi sembrano più immediati, soprattutto il primo.
"Berationalgetreal":
Allora:
\[ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots \\ &> 1 + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{{} = 1} + \underbrace{\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}_{{} = 1} + \dots \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + \dots \end{aligned}\]
Quindi, abbiamo trovato che:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} > \sum_{ n = 1}^{+ \infty} 1 = \lim_{n \to + \infty} {n} = + \infty \]
Dal criterio del confronto dalle serie (oppure, se vuoi, dal criterio del confronto tra i limiti), se ne deduce che la serie \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} \) diverge. Con l'altra facciamo in maniera molto simile, ma maggiorando:
\[ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} &= 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49} + \frac{1}{64} + \dots + \frac{1}{225} + \frac{ 1}{256} + \dots \\ &< 1 + \underbrace{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{{} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{16} + \frac{ 1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}_{{} = \frac{1}{4}} + \underbrace{\frac{ 1}{64} + \dots + \frac{1}{64}}_{{} = \frac{1}{8}} + \frac{1}{256} + \dots \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \end{aligned}\]
Quindi, in questo caso:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} < \sum_{n = 0}^{+\infty} \left (\frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2}} = 2 \]
Dunque, per il criterio del confronto, la serie \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} \) converge. In particolare (ma questa è più che altro un approfondimento), Eulero dimostrò che converge a \( \frac{\pi^2}{6} \); la faccenda è nota sotto il nome di "Problema di Basilea".
Ci sono anche altri modi per dimostrare la divergenza della prima e la convergenza della seconda. Con il criterio di condensazione di Cauchy, dopo aver dimostrato che entrambi i termini generici sono decrescenti:
\[ \sum_{ n = 0}^{ + \infty} \frac{1}{n} < + \infty \iff \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^n}{2^n} < + \infty \]
Da cui deriva subito che \( \sum_{ n = 0}^{ + \infty} \frac{1}{n} \) diverge. Ed ancora:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} < + \infty \iff \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^n}{ 2^{2n}} < + \infty \]
Anche in questo caso, è immediato concludere che \( \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} \) converge.
Ci sono altri modi ancora, ma questi sono quelli che mi sembrano più immediati, soprattutto il primo.
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