Serie convergenti
Se [tex]\sum_{n=0}^{+\infty } a_n[/tex] converge, allora necessariamente:
a.
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty } (1+a_n)^2[/tex] converge
b.
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty } \left |a_n \right |[/tex] converge
c.
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty } \sin(a_n)[/tex] converge
d.
[tex]\lim_{n \to +\infty } \ n^2a_n = 0[/tex]
Non riesco a capire quale sia quella giusta.
Secondo me è la c, quella del seno.
Penso che sia giusta perchè i termini $a_n$ tendono a zero, quindi intorno allo zero il seno si comporta come il termine stesso $\sin x = x + o(x)$ e quindi non si altera il carattere della serie.
Le altre sono sbagliate perchè:
a. Anche nel caso più ovvio $a_n = 0$ andrei a fare la sommatoria con $a_n=1$.... la serie diverge, è ovvio.
b. E' vero il contrario, cioè se la somma dei termini assoluti converge, allora converge anche la somma dei termini. Ma non è detto che sia sempre vero il viceversa.
d. Controesempio: $a_n = n^{-2}$ La serie converge, ma il limite proposto nella risposta è 1.
Che ne dite ?
a.
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty } (1+a_n)^2[/tex] converge
b.
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty } \left |a_n \right |[/tex] converge
c.
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty } \sin(a_n)[/tex] converge
d.
[tex]\lim_{n \to +\infty } \ n^2a_n = 0[/tex]
Non riesco a capire quale sia quella giusta.
Secondo me è la c, quella del seno.
Penso che sia giusta perchè i termini $a_n$ tendono a zero, quindi intorno allo zero il seno si comporta come il termine stesso $\sin x = x + o(x)$ e quindi non si altera il carattere della serie.
Le altre sono sbagliate perchè:
a. Anche nel caso più ovvio $a_n = 0$ andrei a fare la sommatoria con $a_n=1$.... la serie diverge, è ovvio.
b. E' vero il contrario, cioè se la somma dei termini assoluti converge, allora converge anche la somma dei termini. Ma non è detto che sia sempre vero il viceversa.
d. Controesempio: $a_n = n^{-2}$ La serie converge, ma il limite proposto nella risposta è 1.
Che ne dite ?
Risposte
Mi sembra che vada bene.
Grazie ancora Seneca ! 
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