Serie convergente/divergente
$\sum_{n = 2}^{+\infty} x^n/(3^n + 4n)$
Mi è chiesto il carattere al variare di x.
La risposta è che per $-33$ non converge, se x=3 diverge a +infinito e non saprei per x=-3,
Ha senso vedere il termine generale come :$ (-1)^n 3^n/(3^n + 4n) e concludere che non converge perché non tende a 0 (criterio Leibniz)?
Grazie
Mi è chiesto il carattere al variare di x.
La risposta è che per $-3
Ha senso vedere il termine generale come :$ (-1)^n 3^n/(3^n + 4n) e concludere che non converge perché non tende a 0 (criterio Leibniz)?
Grazie
Risposte
Complimenti, stai usando un criterio per la convergenza per dimostrare una divergenza.
Non solo la consecutio logica è trumpiana ma stai applicando il criterio alla successione sbagliata (infatti $a_n=3^n/(3^n + 4n$ e pertanto la successione è crescente).
Non ti rimane che provare il teorema rivoluzionario per cui Se non valgono le ipotesi del criterio di Leibnitz, allora tutte le serie a segni alterni divergono
Non solo la consecutio logica è trumpiana ma stai applicando il criterio alla successione sbagliata (infatti $a_n=3^n/(3^n + 4n$ e pertanto la successione è crescente).
Non ti rimane che provare il teorema rivoluzionario per cui Se non valgono le ipotesi del criterio di Leibnitz, allora tutte le serie a segni alterni divergono
Non ho capito, ho detto che non converge perché non tende a 0
Chiedo scusa a Bokonon se mi intrometto ma, visto che avevo svolto l'esercizio, sarebbe un peccato non contribuire. Per quanto riguarda la convergenza assoluta:
Ergo, la serie converge assolutamente almeno per:
Inoltre, poiché:
la serie converge assolutamente solo per:
Non resta che studiare la convergenza semplice per:
Tuttavia poichè:
la serie converge se e solo se converge assolutamente.
Criterio del rapporto
$lim_(n rarr +oo)|a_(n+1)|/|a_n|=1/3|x|$
Ergo, la serie converge assolutamente almeno per:
$-3 lt x lt 3$
Inoltre, poiché:
$[x=+-3] rarr [|a_n|=3^n/(3^n+4n)] rarr [lim_(n rarr +oo)|a_n|=1]$
la serie converge assolutamente solo per:
$-3 lt x lt 3$
Non resta che studiare la convergenza semplice per:
$x lt= -3$
Tuttavia poichè:
$[x lt= -3] rarr [a_n=(-1)^n|x|^n/(3^n+4n)] ^^ [|x| gt= 3] rarr$non esiste$lim_(n rarr +oo)a_n$
la serie converge se e solo se converge assolutamente.
Grazie mille
Quindi se $x>3$ la serie diverge a +infinito perché è a termini Non negativi, se $|x|<3$ converge, se x=3 non posso concludere che diverge a +infinito? Dato che è sempre a termini non negativi.
Se x<=-3 da cosa deduco che non converge? Non posso usare Leibniz?
Se x<=-3 da cosa deduco che non converge? Non posso usare Leibniz?
"AndretopC0707":
ho detto che non converge perché non tende a 0
...quando invece avresti potuto e dovuto scrivere:
La successione $a_n=3^n/(3^n + 4n)$ è a termini positivi ed è una successione crescente, pertanto non posso applicare il criterio di Leibnitz.
Al che il tuo prof. avrebbe risposto "Grazie a Graziella. Magari hai pure controllato che una successione positiva crescente possa convergere a zero!" E poi fissandoti intensamente:"Dimmi che non l'hai fatto"
Se non vedi la differenza...
Comunque @anonymous_0b37e9 ti ha dato la soluzione. Comincio a pensare che tu voglia solo risposte...
"AndretopC0707":
Non posso usare Leibniz?
Ok, con questo direi che mi sono tolto il dubbio.
"Bokonon":
[quote="AndretopC0707"]ho detto che non converge perché non tende a 0
...quando invece avresti potuto e dovuto scrivere:
La successione $a_n=3^n/(3^n + 4n)$ è a termini positivi ed è una successione crescente, pertanto non posso applicare il criterio di Leibnitz.
Al che il tuo prof. avrebbe risposto "Grazie a Graziella. Magari hai pure controllato che una successione positiva crescente possa convergere a zero!" E poi fissandoti intensamente:"Dimmi che non l'hai fatto"
Se non vedi la differenza...
Comunque @anonymous_0b37e9 ti ha dato la soluzione. Comincio a pensare che tu voglia solo risposte...
"AndretopC0707":
Non posso usare Leibniz?
Ok, con questo direi che mi sono tolto il dubbio.[/quote]
Ma io non ho detto nulla di ciò che tu hai scritto.
Se $x=-1$ non direi proprio che si tratta di una successione a termini non negativi.
Se x<=-3 a me sembra una successione a termini di segno qualunque e quindi se ho x<=-3 non converge perché il termine generale non è infinitesimo.
Non saprei in che altro modo rispondere.
Se x<=-3 a me sembra una successione a termini di segno qualunque e quindi se ho x<=-3 non converge perché il termine generale non è infinitesimo.
Non saprei in che altro modo rispondere.
Ciao AndretopC0707,
Sì. Basta che osservi che per $x = 3 $ si ha $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0 $: pertanto in tal caso non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, ed essendo la serie a termini positivi necessariamente diverge positivamente.
Te lo ha già spiegato Sergeant Elias: il limite non esiste, la serie continua ad oscillare fra valori positivi e valori negativi sempre crescenti.
Noterei invece che si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} |x|^n/(3^n + 4n) < \sum_{n = 2}^{+\infty} |x|^n/(3^n) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (|x|/3)^n = |x|^2/(3(3 - |x|)) $
per $|x| < 3 $
"AndretopC0707":
se x=3 non posso concludere che diverge a +infinito?
Sì. Basta che osservi che per $x = 3 $ si ha $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0 $: pertanto in tal caso non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, ed essendo la serie a termini positivi necessariamente diverge positivamente.
"AndretopC0707":
Se x<=-3 da cosa deduco che non converge?
Te lo ha già spiegato Sergeant Elias: il limite non esiste, la serie continua ad oscillare fra valori positivi e valori negativi sempre crescenti.
Noterei invece che si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} |x|^n/(3^n + 4n) < \sum_{n = 2}^{+\infty} |x|^n/(3^n) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (|x|/3)^n = |x|^2/(3(3 - |x|)) $
per $|x| < 3 $
Chiaro, grazie mille
"AndretopC0707":
Se $x=-1$ non direi proprio che si tratta di una successione a termini non negativi.
Se x<=-3 a me sembra una successione a termini di segno qualunque e quindi se ho x<=-3 non converge perché il termine generale non è infinitesimo.
Non saprei in che altro modo rispondere.
Rispondo nel caso fosse rivolto a me
perchè oramai pensi che un thread sia una chat.Cosa c'entra $x=-1$? Sappiamo già che converge, si parlava di $x=-3$
Ti ho corretto due volte il tuo $a_n$ rimuovendo $(-1)^n$, te ne sei accorto?
Ti sei accorto che ho scritto ben due volte $a_n=3^n/(3^n + 4n)$?
E' evidente che non hai idea di cosa sia il criterio di Leibnitz
https://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz
Te lo dico dal cuore, ti muovi da un esame all'altro e da un argomento all'altro come un delfino con la labirintite senza avere la più pallida idea di cosa tu stia scrivendo. Fosse solo questo, sarebbe già grave, ma se non leggi cosa scrive la gente e poi ci rifletti su per una giornata, allora è tempo perso. No?
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