Serie convergente puntualmente ed uniformemente?

[mazzy89-votailprof]

la seguente serie: $sum_(n=1)^(+infty) e^(-nx)/(n^2|x|+n)$ secondo i miei calcoli converge per ogni $x in RR$. Sono arrivato ad asserire ciò applicando alla serie il criterio della radice dato che la serie considerata è una serie a termini positivi. Applicando il criterio: $lim_(n to +infty) root(n)(e^(-nx)/(n^2|x|+n))=0$. Segue quindi che la serie converge per $x in RR$. Per provare che la serie converge uniformemente provo che converge totalmente dato che la convergenza totale implica quella uniforme (ed assoluta). Per provare la convergenza totale verifico le ipotesi del teorema di convergenza totale. Come posso verificare che $f_n(x)=e^(-nx)/(n^2|x|+n)$ è limitata?

[gugo82]

Proviamo: se mettiamo [tex]$x=-1$[/tex] la serie numerica corrispondente converge?

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":Proviamo: se mettiamo [tex]$x=-1$[/tex] la serie numerica corrispondente converge?

per $x=-1$ la serie risulta divergente a $+infty$. Quindi non è convergente per ogni $x in RR$, Ma dove ho sbagliato?

[gugo82]

L'unico posto dove può annidarsi l'errore è nel calcolo del limite (che necessariamente ha da dipendere da [tex]$x$[/tex], perchè c'è divergenza per alcuni valori della variabile e convergenza per altri).
Controlla un po'.

Inoltre credo tu possa usare qualche criterio di convergenza più "pratico", ad esempio il confronto asintotico.

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":L'unico posto dove può annidarsi l'errore è nel calcolo del limite (che necessariamente ha da dipendere da [tex]$x$[/tex], perchè c'è divergenza per alcuni valori della variabile e convergenza per altri).
Controlla un po'.

Inoltre credo tu possa usare qualche criterio di convergenza più "pratico", ad esempio il confronto asintotico.

ed infatti c.v.d. L'errore l'ho commesso nel calcolo del limite. Un passaggio sbagliato ed è fatta la frittata

[Edit:]
confrontando la serie con la serie $sum 1/n^2$ viene fuori il seguente limite $lim_(n to infty) (n^2*e^(-nx))/(n^2(|x|+1/n))$

proseguendo ho $lim_(n to infty) (e^(-nx))/(|x|+1/n)$. questo limite dipende da $x$