Serie convergente o divergente
$ \sum_{k=2}^{\infty} 1/\sqrtk $
ad occhio direi che converge, facendo il limite di k tendente ad infinito risulta essere 0.
Purtroppo l'esercizio mi dice che diverge... potete spiegarmi perchè?
ad occhio direi che converge, facendo il limite di k tendente ad infinito risulta essere 0.
Purtroppo l'esercizio mi dice che diverge... potete spiegarmi perchè?
Risposte
Ciao!
Usa il criterio integrale essendo
Usa il criterio integrale essendo
$1/sqrt(k+1)leq1/sqrt(x)leq1/sqrt(k)$ per $x in [k,k+1]$
Cosa sai della serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \]?
Una postilla per Raffa85. Attenzione! Che il termine generico della serie converge a zero è condizione necessaria, ma non sufficiente perché la serie converga (vedi l'esempio fatto da obnoxiuos, la serie armonica).
Quindi attenzione! Dire che una serie converge perché converge il temine generico è pericoloso all'esame! Sarebbe visto come un errore che fa orrore
!
Quindi attenzione! Dire che una serie converge perché converge il temine generico è pericoloso all'esame! Sarebbe visto come un errore che fa orrore
!
Ciao Raffa85,
A parte il fatto che in questi casi l'occhio inganna, dalla condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{k \to +\infty} a_k = 0 $ puoi solo dedurre che la serie proposta può convergere, ma non è detto che lo faccia, come ti ha già ben spiegato gabriella127: un controesempio classico è proprio quello della serie armonica citata da 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6.
Eh, mi sa che l'esercizio ha ragione, anche se quello proposto più che un esercizio mi pare la mera applicazione della serie armonica generalizzata:
$ \sum_{k=1}^{\infty} 1/k^{\alpha} $
notoriamente convergente per $\alpha > 1 $ e divergente per $\alpha <= 1 $: nel caso in esame si ha $\alpha = 1/2 < 1 $ e la serie è stata privata del primo termine (quello che si ottiene per $k = 1 $); nel caso della serie armonica citata da 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 si ha $\alpha = 1 $. Sussistono numerose dimostrazioni in merito alla divergenza della serie armonica, per cui su questo punto non mi soffermo. Invece è più interessante osservare che se $\alpha <= 1 $ si ha:
$1/k^{\alpha} >= 1/k $
$\AA k >= 1 $, per cui si ha:
$ \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/k^{\alpha} >= \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/k $
per $\alpha <= 1 $. Dato che l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente, ne segue la divergenza della serie proposta.
"Raffa85":
ad occhio direi che converge, facendo il limite di k tendente ad infinito risulta essere 0
A parte il fatto che in questi casi l'occhio inganna, dalla condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{k \to +\infty} a_k = 0 $ puoi solo dedurre che la serie proposta può convergere, ma non è detto che lo faccia, come ti ha già ben spiegato gabriella127: un controesempio classico è proprio quello della serie armonica citata da 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6.
"Raffa85":
Purtroppo l'esercizio mi dice che diverge...
Eh, mi sa che l'esercizio ha ragione, anche se quello proposto più che un esercizio mi pare la mera applicazione della serie armonica generalizzata:
$ \sum_{k=1}^{\infty} 1/k^{\alpha} $
notoriamente convergente per $\alpha > 1 $ e divergente per $\alpha <= 1 $: nel caso in esame si ha $\alpha = 1/2 < 1 $ e la serie è stata privata del primo termine (quello che si ottiene per $k = 1 $); nel caso della serie armonica citata da 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 si ha $\alpha = 1 $. Sussistono numerose dimostrazioni in merito alla divergenza della serie armonica, per cui su questo punto non mi soffermo. Invece è più interessante osservare che se $\alpha <= 1 $ si ha:
$1/k^{\alpha} >= 1/k $
$\AA k >= 1 $, per cui si ha:
$ \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/k^{\alpha} >= \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/k $
per $\alpha <= 1 $. Dato che l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente, ne segue la divergenza della serie proposta.
grazie siete stati chiarissimi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo