Serie convergente con parametro e modulo
Salve, riporto una serie che non sono riuscito a risolvere. La serie $\sum_{n=1}^oo n^|x|3^(nx^(2)-n)$ converge se e solo se ? E la risposta giusta è $|x|<1$ . Ho studiato il segno del modulo e poi applicato il teorema del rapporto ma mi è uscito $x^2<0$ . Qualcuno mi può aiutare ?
Risposte
Ciao davide.fede,
La serie proposta è la seguente:
$\sum_{n=1}^{+\infty} n^|x|3^(nx^(2)-n) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^|x|(3^(x^2-1))^n $
Posto $a_n(x) := n^|x|(3^(x^2-1))^n $, applicando il criterio del rapporto si ha:
$lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)} = lim_{n \to +\infty} frac{(n + 1)^|x| (3^(x^2-1))^{n + 1}}{n^|x|(3^(x^2-1))^n} = lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^|x| 3^(x^2-1) = $
$ = lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/n)^n]^{|x|/n} \cdot 3^(x^2-1) $
Affinché la serie proposta converga è necessario che il risultato dell'ultimo limite scritto sia minore di $1$, e siccome il primo fattore tende a $e^0 = 1 $, è necessario che il secondo fattore sia minore di $1$:
$3^(x^2-1) < 1 \implies 3^(x^2-1) < 3^0 \implies x^2 - 1 < 0 \implies |x| < 1 $
La serie proposta è la seguente:
$\sum_{n=1}^{+\infty} n^|x|3^(nx^(2)-n) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^|x|(3^(x^2-1))^n $
Posto $a_n(x) := n^|x|(3^(x^2-1))^n $, applicando il criterio del rapporto si ha:
$lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)} = lim_{n \to +\infty} frac{(n + 1)^|x| (3^(x^2-1))^{n + 1}}{n^|x|(3^(x^2-1))^n} = lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^|x| 3^(x^2-1) = $
$ = lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/n)^n]^{|x|/n} \cdot 3^(x^2-1) $
Affinché la serie proposta converga è necessario che il risultato dell'ultimo limite scritto sia minore di $1$, e siccome il primo fattore tende a $e^0 = 1 $, è necessario che il secondo fattore sia minore di $1$:
$3^(x^2-1) < 1 \implies 3^(x^2-1) < 3^0 \implies x^2 - 1 < 0 \implies |x| < 1 $
Grazie mille. Sei sempre il migliore 
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