Serie convergente alla cosecante...
Ciao a tutti. Ecco una nuova puntata della serie preferita da tutti cioè "FORMULAZZE IMPOSSIBILI"......
Parlando seriamente mi servirebbe una qualche referenza (o anche qualche idea ma non oso sperare tanto.....) per trovare una dimostrazione dell'identità seguente
$cosec^2 \pi x = 1/(sin^2 \pi x)= \pi^(-2) \sum_(k=-\infty)^(+\infty) (x-k)^(-2)$
Ho sfogliato il Whittaker ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio. Devo dire che mi pare proprio il classico problema dell'ago nel pagliaio...
Parlando seriamente mi servirebbe una qualche referenza (o anche qualche idea ma non oso sperare tanto.....) per trovare una dimostrazione dell'identità seguente
$cosec^2 \pi x = 1/(sin^2 \pi x)= \pi^(-2) \sum_(k=-\infty)^(+\infty) (x-k)^(-2)$
Ho sfogliato il Whittaker ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio. Devo dire che mi pare proprio il classico problema dell'ago nel pagliaio...
Risposte
Un po' per uppare un po' per sottoporvi gli sviluppi a cui sono giunto.
Sul Whittaker (non credo ci sia bisogno del titolo...) a pagina 134 appare, con dimostrazione, un teorema che afferma quanto segue.
Sia $f(z)$ una funzione che presenta dei poli semplici per certi valori $a_1,a_2,a_3,....$ nel piano complesso e che sia regolare in $z=0$. Definiamo $b_n = Res[f, a_n]$. Seguono alcune ipotesi sulla regolarità di $f$ che tralascio perchè non sono il punto del discorso, se a qualcuno interessano le posto in un secondo momento. La tesi è che la funzione può essere espressa così
$f(z) = f(0) + \sum_n b_n ( \frac{1}{z-a_n} + \frac{1}{a_n} )$
dove la somma è estesa a tutti i poli della funzione.
Per come la mette giù sembra che questo teorema non si possa applicare nel caso di poli doppi (o multipli in generale). Infatti ho provato a usarlo e non se ne cava nulla. Qualcuno sa se esiste la versione per poli multipli di questo teorema?
Successivamente, come applicazione di quest'ultimo teorema, l'autore considera $f(z) = cosec z - z^(-1)$ e arriva all'espansione
$cosec z = \frac{1}{z} + \sum_(n=-\infty)^(\infty) (-1)^n ( \frac{1}{z-n\pi} + \frac{1}{n \pi} )$
Sembrerebbe quindi che quadrando il secondo membro dell'ultima espressione uno possa ricavare la formula del primo post. Quindi la domanda diventa: come si fa il quadrato di una serie? Usando il prodotto di Abel con due indici differenti? Qualche idea? Ogni suggerimento è prezioso, io intanto continuo a pensare....
Saluti
Sul Whittaker (non credo ci sia bisogno del titolo...) a pagina 134 appare, con dimostrazione, un teorema che afferma quanto segue.
Sia $f(z)$ una funzione che presenta dei poli semplici per certi valori $a_1,a_2,a_3,....$ nel piano complesso e che sia regolare in $z=0$. Definiamo $b_n = Res[f, a_n]$. Seguono alcune ipotesi sulla regolarità di $f$ che tralascio perchè non sono il punto del discorso, se a qualcuno interessano le posto in un secondo momento. La tesi è che la funzione può essere espressa così
$f(z) = f(0) + \sum_n b_n ( \frac{1}{z-a_n} + \frac{1}{a_n} )$
dove la somma è estesa a tutti i poli della funzione.
Per come la mette giù sembra che questo teorema non si possa applicare nel caso di poli doppi (o multipli in generale). Infatti ho provato a usarlo e non se ne cava nulla. Qualcuno sa se esiste la versione per poli multipli di questo teorema?
Successivamente, come applicazione di quest'ultimo teorema, l'autore considera $f(z) = cosec z - z^(-1)$ e arriva all'espansione
$cosec z = \frac{1}{z} + \sum_(n=-\infty)^(\infty) (-1)^n ( \frac{1}{z-n\pi} + \frac{1}{n \pi} )$
Sembrerebbe quindi che quadrando il secondo membro dell'ultima espressione uno possa ricavare la formula del primo post. Quindi la domanda diventa: come si fa il quadrato di una serie? Usando il prodotto di Abel con due indici differenti? Qualche idea? Ogni suggerimento è prezioso, io intanto continuo a pensare....
Saluti
Continuo nel mio soliloquio....spero che la cosa non molesti nessuno....
Dopo un po' di spulciamento di libri e dispense varie ho trovato una nuova strada. Consideriamo la funzione di variabile complessa
$f(z) = (\pi cot \pi z)/((z-x)^2)$ (1)
con $x \in RR$. Quest'ultima presenta un polo doppio per $z=x$ in cui il residuo vale
$Res[f(z),x] = lim_{z->x} d/(dz) [(\pi)/(tg \pi z)] = -\pi^2 (1+cot^2 \pi x) = - \pi^2 cosec^2 \pi x$
e un'infinità numerabile di poli semplici in corrispondenza dei valori interi sull'asse reale, chiamiamoli $k \in ZZ$, in cui il residuo vale
$Res[f(z),k] = lim_{z->k} (\pi(z-k))/(tg \pi z) 1/((z-x)^2) = 1/((x-k)^2) lim_{z->k} (\pi(z-k))/(tg \pi (z-k)) = 1/((x-k)^2)$
A questo punto quindi se integro la funzione (1) su una circonferenza di raggio R e poi mando R all'infinito, devo solo dimostrare che l'integrale si annulla per poter sfruttare il teorema dei residui su tutti i poli e ottenere così la serie in oggetto!!!!!! Siccome la cotangente è limitata e il denominatore va come $R^2$ posso dire che valgono le ipotesi del lemma del grande cerchio e quindi davvero l'integrale va a zero. Quindi mi sembra di avercela fatta.
Funziona secondo voi?
Dopo un po' di spulciamento di libri e dispense varie ho trovato una nuova strada. Consideriamo la funzione di variabile complessa
$f(z) = (\pi cot \pi z)/((z-x)^2)$ (1)
con $x \in RR$. Quest'ultima presenta un polo doppio per $z=x$ in cui il residuo vale
$Res[f(z),x] = lim_{z->x} d/(dz) [(\pi)/(tg \pi z)] = -\pi^2 (1+cot^2 \pi x) = - \pi^2 cosec^2 \pi x$
e un'infinità numerabile di poli semplici in corrispondenza dei valori interi sull'asse reale, chiamiamoli $k \in ZZ$, in cui il residuo vale
$Res[f(z),k] = lim_{z->k} (\pi(z-k))/(tg \pi z) 1/((z-x)^2) = 1/((x-k)^2) lim_{z->k} (\pi(z-k))/(tg \pi (z-k)) = 1/((x-k)^2)$
A questo punto quindi se integro la funzione (1) su una circonferenza di raggio R e poi mando R all'infinito, devo solo dimostrare che l'integrale si annulla per poter sfruttare il teorema dei residui su tutti i poli e ottenere così la serie in oggetto!!!!!! Siccome la cotangente è limitata e il denominatore va come $R^2$ posso dire che valgono le ipotesi del lemma del grande cerchio e quindi davvero l'integrale va a zero. Quindi mi sembra di avercela fatta.
Funziona secondo voi?
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