Serie convergente???

[totinaples]

Determinare l' insieme di convergenza della segente serie di funzioni
$sum_{k=1}^N (-1)^n/(n+sqrtn) e^(nx)$
Operando la sostituzione $e^x=z$ ho applicato il teorema del rapporto per trovare il raggio di convergenza.
Alla fine del procedimento risulta:
$ln(-1) In questo caso cosa si dice riguardo la serie? Che converge per $x<0$ ?
Grazie

[pater46]

Non vedo alcun $e^x$... Forse quella $x$ è all'esponente?

Potresti postare un paio di passaggi del tuo procedimento?

[totinaples]

si ovviamente all' esponente
in ogni caso applico il criterio del rapporto alla successione $a_n=>$
$lim_(n->\infty)|((-1)^n/(n+sqrtn)*(n+1+sqrt(n+1))/(-1)^(n+1))|$
che per ordine egli infiniti va a 1 mi sembra.
dunque tenendo conto della sostituzione effettuata $-1-1ln(-1)x<0?$

[pater46]

Che io mi ricordi il criterio del rapporto si può usare solo con le serie a termini positivi... E questa non mi sembra che rientri nella categoria!

Studiati la convergenza assoluta oppure applica il criterio di Leibniz

[totinaples]

ma questa è una serie di potenze...io credo si possa fare
per le serie di potenze esistono teoremi diversi che non rispettano completamente quelli per le serie di funzioni o quelli delle successioni.
Infatti come vedi il termine $a_n$ è in valore assoluto come da teorema (formula di Dalembert).
Dunque io credo che il limite sia giusto. Infatti non è quello che mi preoccupa ma l' ultima disuguaglianza!

[pater46]

Ma perchè, non sono sempre serie?

Comunque si, non avevo notato il valore assoluto.. Quella che stai studiando, senza neanche accortergene, è la convergenza della serie dei valori assoluti studiata tramite un normale criterio del rapporto.

A maggior ragione, dunque, quegli $(-1)^n$ non hanno ragione di esistere.

Comunque, hai posto $z=e^x$, dunque $e^{nx} = ze^n$... E mi pare che nel studiarti la convergenza assoluta ti sei dimenticato di riportarlo. Tenendo conto di questo, il raggio dovrebbe essere $1/e$ se non vado errato.

Altra osservazione: avevi un'ovvietà quando sei arrivato a $-1 < e^x < 1$ ( che tra l'altro suppone ancora raggio di convergenza 1, che dovresti correggere ), ma $e^x > 0 \forall x$, dunque la prima disequazione la puoi levare.

[totinaples]

posto $z=e^x,$ dunque $e^(nx)=ze^n$

io credo che questo sia un errore...non è $e^(n+x)$ ma $e^(nx)$ quindi se non sto facendo proprio un erroraccio se $z=e^x=>z^n=e^(nx)$ come appunto dicevo prima.
ma comunque non era quella la cosa su cui mi sono bloccato ma proprio su $ln(-1) Il punto fondamentale è questo sopratutto!

[pater46]

"totinaples":

posto $z=e^x,$ dunque $e^(nx)=ze^n$[\quote]

io credo che questo sia un errore...non è $e^(n+x) ma $e^(nx)$ quindi se non sto facendo proprio un erroraccio se $z=e^x=>z^n=e^(nx)$ come appunto dicevo prima.
ma comunque non era quella la cosa su cui mi sono bloccato ma proprio su $ln(-1) Il punto fondamentale è questo sopratutto!

omg, ok oggi sono proprio fuori. Scusami veramente. Hai ragione tu allora! per il $ln(-1)$ ti devi fermare un passaggio prima, dato che l'esponenziale non può mai essere negativo, ti resta solo il secondo pezzo di disuguaglianza!

Scusa ancora per gli errori

[carpirob]

"pater46":Ma perchè, non sono sempre serie?

Comunque si, non avevo notato il valore assoluto.. Quella che stai studiando, senza neanche accortergene, è la convergenza della serie dei valori assoluti studiata tramite un normale criterio del rapporto.

A maggior ragione, dunque, quegli $(-1)^n$ non hanno ragione di esistere.

Comunque, hai posto $z=e^x$, dunque $e^{nx} = ze^n$... E mi pare che nel studiarti la convergenza assoluta ti sei dimenticato di riportarlo. Tenendo conto di questo, il raggio dovrebbe essere $1/e$ se non vado errato.

Altra osservazione: avevi un'ovvietà quando sei arrivato a $-1 < e^x < 1$ ( che tra l'altro suppone ancora raggio di convergenza 1, che dovresti correggere ), ma $e^x > 0 \forall x$, dunque la prima disequazione la puoi levare.

Perdonami...ma con il criterio di D'Alembert come hai fatto a farti venire $1/e$ come raggio di convergenza ???

potresti postare i passaggi e le motivazioni ? Thanks !!