Serie convergente
Buonasera a tutti,
come posso dimostrare che la serie $\sum_{n=1}^infty e^-sqrt(n)/sqrt(n)$ è convergente? Credo che il criterio del confronto sia il metodo più efficiente, ma non riesco ad impiegarlo... Suggerimenti?
Grazie in anticipo!
come posso dimostrare che la serie $\sum_{n=1}^infty e^-sqrt(n)/sqrt(n)$ è convergente? Credo che il criterio del confronto sia il metodo più efficiente, ma non riesco ad impiegarlo... Suggerimenti?
Grazie in anticipo!
Risposte
Considera che $1/e^(sqrt(n)) leq 1/n^(3/2)$ definitivamente
Quindi $1/(sqrt(n)e^sqrt(n))<=1/n^2$ definitivamente
Quindi $1/(sqrt(n)e^sqrt(n))<=1/n^2$ definitivamente
Ciao e grazie per la risposta!
Sia $e^sqrt(n)$ che $n^(3/2)$ sono funzioni crescenti. Come dimostro la disuguaglianza che hai usato al primo passaggio? Per tentativi? Risolvo $e^sqrt(n)>=n^(3/2)$?
Sia $e^sqrt(n)$ che $n^(3/2)$ sono funzioni crescenti. Come dimostro la disuguaglianza che hai usato al primo passaggio? Per tentativi? Risolvo $e^sqrt(n)>=n^(3/2)$?
Limite del rapporto.
Ciao gugo, perdona la domanda banale, ti riferisci alla stima asintotica, giusto? Essendo $\lim_{n \to \infty}e^sqrt(n)/n^(3/2) = +infty$, il termine a numeratore tende ad infinito più rapidamente di quello a denominatore, da cui segue la disuguaglianza usata da anto_zoolander. Confermi? Spero di non aver detto una castroneria.
Giusto.
Per definizione, da quella relazione di limite lì trai:
$e^sqrt(n)/sqrt(n^3) >= 1$ per $n$ "grande"
da cui segue quel che ti serve.
Per definizione, da quella relazione di limite lì trai:
$e^sqrt(n)/sqrt(n^3) >= 1$ per $n$ "grande"
da cui segue quel che ti serve.
Un altro criterio che può funzionare qua è quello dell'integrale (anche l'approccio precedente è, a mio parere, più semplice): si dimostra che la funzione $f:[1,\infty) \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f(x):=\frac{\exp(-\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ è positiva per ogni $x > 0$, monotòna decrescente per ogni $x >0$ e tende a $0$ per $x \to \infty$.
Pertanto la serie ha lo stesso comportamento di
$$\int_{1}^{\infty} \frac{\exp({-\sqrt{x})}}{\sqrt{x}} \text{d}x$$
Pertanto la serie ha lo stesso comportamento di
$$\int_{1}^{\infty} \frac{\exp({-\sqrt{x})}}{\sqrt{x}} \text{d}x$$
Ciao RP-1,
L'approccio suggerito da Mephlip ha anche il pregio che in combinato disposto con le formule di Eulero-Maclaurin consente di stabilire che la somma $S $ della serie a termini positivi proposta è maggiore del valore dell'ultimo integrale che ha scritto, che è facilmente calcolabile e vale $ 2/e = 0,73576 $ e si ha:
$ 2/e = 0,73576 < S < 1 $
Da WolframAlpha $S = 0,94854 $
L'approccio suggerito da Mephlip ha anche il pregio che in combinato disposto con le formule di Eulero-Maclaurin consente di stabilire che la somma $S $ della serie a termini positivi proposta è maggiore del valore dell'ultimo integrale che ha scritto, che è facilmente calcolabile e vale $ 2/e = 0,73576 $ e si ha:
$ 2/e = 0,73576 < S < 1 $
Da WolframAlpha $S = 0,94854 $
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