Serie convergente
$ sum ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^((n^3+n)/(n+3)) $
Secondo Wolfram, questa serie converge per il criterio del rapporto.
Mi trovo con il limite per n che tende ad infinito della successione, quindi la serie rispetta la condizione necessaria di convergenza
Peró con il criterio del rapporto arrivo ad un punto morto in cui entrambi i termini della moltiplicazione sono elevati ad un certo termine fratto e non so come andare avanti.
In particolare:
$ ((n^3+3n^2+6n+4)/(n^3+4n^2+5n+4))^((n^3+3n^2+4n+2)/(n+4))*((n^3+n^2-2)/(n^3+3n))^((n^3+n)/(n+3)) $
Secondo Wolfram, questa serie converge per il criterio del rapporto.
Mi trovo con il limite per n che tende ad infinito della successione, quindi la serie rispetta la condizione necessaria di convergenza
Peró con il criterio del rapporto arrivo ad un punto morto in cui entrambi i termini della moltiplicazione sono elevati ad un certo termine fratto e non so come andare avanti.
In particolare:
$ ((n^3+3n^2+6n+4)/(n^3+4n^2+5n+4))^((n^3+3n^2+4n+2)/(n+4))*((n^3+n^2-2)/(n^3+3n))^((n^3+n)/(n+3)) $
Risposte
Sinceramente io ti consiglio di applicare il criterio della radice piuttosto che quello del rapporto, ad ogni modo potrebbe farti comodo scrivere le basi di quelle potenze come $1+\text{qualcosa}$ in qualche modo e ricondurti a qualche limite notevole...
$ ((n-n^2)/(n^3+4n^2+5n+4)+1)^((n^3+3n^2+4n+2)/(n+4))*((n^2-3n-2)/(n^3+3n)+1)^((n^3+n)/(n+3)) $
Ti riferisci al limite di Nepero?
Oppure sarebbe meglio riscrivere tutto come e^ln(n...) e sfruttare il limite notevole del logaritmo per semplificare?
Come avrei potuto fare con il criterio della radice?
ricondurti a qualche limite notevole...
Ti riferisci al limite di Nepero?
Oppure sarebbe meglio riscrivere tutto come e^ln(n...) e sfruttare il limite notevole del logaritmo per semplificare?
Sinceramente io ti consiglio di applicare il criterio della radice piuttosto che quello del rapporto
Come avrei potuto fare con il criterio della radice?
"maxira":
Ti riferisci al limite di Nepero?
Oppure sarebbe meglio riscrivere tutto come e^ln(n...) e sfruttare il limite notevole del logaritmo per semplificare?
Entrambe le cose vanno bene.
Come avrei potuto fare con il criterio della radice?
In che senso come avresti potuto fare? Fai la radice $n$-esima del termine generico e calcoli il limite.
Credo di aver capito. Puoi dirmi se é corretto?
Applico il criterio della radice:
$ ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^(((n^3+n)/(n+3))^(1/n)) $
$ ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^(((n^3+n)/(n^2+3n))) $
Se il limite per $n rarr oo $ risulta minore di 1, la serie di partenza converge:
$ lim_(n rarr oo) ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^(((n^3+n)/(n^2+3n))) $
$ lim_(n rarr oo) ((-n^2+3n+2)/(n^3+n^2-2)+1)^(((n^3+n)/(n^2+3n))) $
$ lim_(n rarr oo)
((n^2(-1+3/n+2/n^2))/(n^3(1+1/n2/n^3))+1)^(((n^3(1+1/n^2))/(n^2(1+3/n))) $
Elimino i termini che tendono a zero e resta:
$ lim_(n rarr oo) (1-1/n)^(n) = 1/e $
Poichè 1/e < 1, la serie di partenza converge.
Applico il criterio della radice:
$ ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^(((n^3+n)/(n+3))^(1/n)) $
$ ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^(((n^3+n)/(n^2+3n))) $
Se il limite per $n rarr oo $ risulta minore di 1, la serie di partenza converge:
$ lim_(n rarr oo) ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^(((n^3+n)/(n^2+3n))) $
$ lim_(n rarr oo) ((-n^2+3n+2)/(n^3+n^2-2)+1)^(((n^3+n)/(n^2+3n))) $
$ lim_(n rarr oo)
((n^2(-1+3/n+2/n^2))/(n^3(1+1/n2/n^3))+1)^(((n^3(1+1/n^2))/(n^2(1+3/n))) $
Elimino i termini che tendono a zero e resta:
$ lim_(n rarr oo) (1-1/n)^(n) = 1/e $
Poichè 1/e < 1, la serie di partenza converge.
"maxira":
$ lim_(n rarr oo)
((n^2(-1+3/n+2/n^2))/(n^3(1+1/n2/n^3))+1)^(((n^3(1+1/n^2))/(n^2(1+3/n))) $
Elimino i termini che tendono a zero e resta:
$ lim_(n rarr oo) (1-1/n)^(n) = 1/e $
Questo passaggio magari andrebbe spiegato un po' meglio ma ci siamo.
Come?
Il punto è che non puoi passare al limite un po' per volta (ricordatelo, che è importante), devi portarti tutto dietro fino alla fine.
Un modo di fare è scrivere il tutto sfruttando l'uguaglianza $x=e^lnx AAx>0$, concentrarsi sull'esponente e calcolarne il limite a parte, a qual punto il risultato è $e^\text{limite dell'esponente}$ perché $e^x$ è una funzione continua.
Un modo di fare è scrivere il tutto sfruttando l'uguaglianza $x=e^lnx AAx>0$, concentrarsi sull'esponente e calcolarne il limite a parte, a qual punto il risultato è $e^\text{limite dell'esponente}$ perché $e^x$ è una funzione continua.
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