Serie convergente
Dire se è falso o vero, se è vero dimostrare, se è falso fornire un contro esempio!
Sia \( (a_n)_{n\geq 0} \) una successione di numeri reali. Se \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \) converge allora \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n^3 \) converge.
È tutto il giorno che ci penso, inizialmente ho pensato fosse vera ma non sono riuscito a dimostrare nulla, dunque ho iniziato a pensare che fosse falso ma non riesco a trovare un contro esempio dunque non ho alcuna idea... Aiuto!!
Sia \( (a_n)_{n\geq 0} \) una successione di numeri reali. Se \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \) converge allora \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n^3 \) converge.
È tutto il giorno che ci penso, inizialmente ho pensato fosse vera ma non sono riuscito a dimostrare nulla, dunque ho iniziato a pensare che fosse falso ma non riesco a trovare un contro esempio dunque non ho alcuna idea... Aiuto!!
Risposte
È vera, è vera... Per serie non negative.
Per la dimostrazione, prova a sfruttare la condizione necessaria in modo da ottenere una maggiorazione per $a_n^3$.
Per la dimostrazione, prova a sfruttare la condizione necessaria in modo da ottenere una maggiorazione per $a_n^3$.
Hai provato col criterio di Cauchy?
"gugo82":
È vera, è vera... Per serie non negative.
Per la dimostrazione, prova a sfruttare la condizione necessaria in modo da ottenere una maggiorazione per $a_n^3$.
Con serie non negative intendi a termini positivi? Ovvero \( (a_n) \geq 0, \forall n \in \mathbb{N} \) ? Ma così sarebbe vera in un solo caso, non sempre, quindi potrebbe essere falsa per \( (a_n) \) a segno alterno?
Per ipotesi abbiamo che \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \) converge e dunque \( S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \) è di Cauchy, ovvero \( \forall \epsilon >0 ,\exists N >0 \) tale che \( \forall n>N, \forall m >0 \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} S_{n+m}- S_{n} \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
Inoltre sempre per ipotesi della convergenza di \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \) segue che \( \forall \varepsilon >0, \exists N>0 \) tale che \( \forall n>N \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} a_n\end{vmatrix} \leq \varepsilon \)
Pertanto Sia \( T_n = \sum\limits_{k=0}^{n} a^3_k \) cerchiamo di dimostrare che è di Cauchy
\( \forall \epsilon >0, \exists N>0 \) tale che \( \forall n>N, \forall m>0 \) risulta che \( \begin{vmatrix} T_{n+m}- T_{n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} a^3_k \end{vmatrix} \leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \begin{vmatrix} a^3_k \end{vmatrix} \leq (n+m)\varepsilon^3 \leq (n+m)\varepsilon \leq \epsilon \)
Dove l'ultima disuguaglianza è data da:
\( \begin{vmatrix} S_{n+m}- S_{n} \end{vmatrix} \leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \leq (n+m)\varepsilon \leq \epsilon \)
Ma cosi sto utilizzando la convergenza assoluta della serie \( S= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \) non la semplice convergenza! Ed io ho solo la convergenza come ipotesi...
Inoltre sempre per ipotesi della convergenza di \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \) segue che \( \forall \varepsilon >0, \exists N>0 \) tale che \( \forall n>N \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} a_n\end{vmatrix} \leq \varepsilon \)
Pertanto Sia \( T_n = \sum\limits_{k=0}^{n} a^3_k \) cerchiamo di dimostrare che è di Cauchy
\( \forall \epsilon >0, \exists N>0 \) tale che \( \forall n>N, \forall m>0 \) risulta che \( \begin{vmatrix} T_{n+m}- T_{n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} a^3_k \end{vmatrix} \leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \begin{vmatrix} a^3_k \end{vmatrix} \leq (n+m)\varepsilon^3 \leq (n+m)\varepsilon \leq \epsilon \)
Dove l'ultima disuguaglianza è data da:
\( \begin{vmatrix} S_{n+m}- S_{n} \end{vmatrix} \leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \leq (n+m)\varepsilon \leq \epsilon \)
Ma cosi sto utilizzando la convergenza assoluta della serie \( S= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \) non la semplice convergenza! Ed io ho solo la convergenza come ipotesi...
Ma no, è molto più semplice, segui il suggerimento di Gugo e anche il tuo istinto. La condizione necessaria alla convergenza è \(a_n\to 0\). L'istinto è quello che dice: se un numero è piccolo allora il suo cubo è ancora più piccolo.
Comunque io ancora non ho capito come si fa senza usare l'ipotesi di convergenza assoluta, né mi sono venuti in mente controesempi.
"otta96":
Comunque io ancora non ho capito come si fa senza usare l'ipotesi di convergenza assoluta, né mi sono venuti in mente controesempi.
Questo perché è falsa!
Ho trovato un controesempio!!
Sia la successione \( (a_n)_{n\geq0}\) definita in questo modo
\( \forall n \in \mathbb{N} \), \( a_{0}=0 \),
\(a_{3n+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \),
\( a_{3n+2}=-\frac{1}{2\sqrt[3]{n}} \),
\( a_{3(n+1)}=-\frac{1}{2\sqrt[3]{n}} \),
Chiaramente abbiamo che la serie \( \sum_{n=0}^{\infty}a_n \)converge verso zero:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n = 0 +( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + \ldots +( \frac{1}{\sqrt[3]{k}} -\frac{1}{2\sqrt[3]{k}} -\frac{1}{2\sqrt[3]{k}} )+ \ldots \)
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n = 0 + 0 + \ldots + 0 + \ldots = 0\)
Ma abbiamo che la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n^3 \) diverge:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n^3 = 0 +( 1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{8}) + ( \frac{1}{2} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + ( \frac{1}{3} - \frac{1}{24} - \frac{1}{24}) + \ldots \)
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n^3 = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{12} + \ldots = \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3}{4k} \)
\( \forall k>0 \) risulta che \( \frac{1}{2k} < \frac{3}{4k} \)
E abbiamo dunque che
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} < \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3}{4k} \) e dunque \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n^3 \) diverge!
Certamente; infatti si parlava di serie a termini non negativi, no? Vedo che nel post originale non era specificato ma lo ha aggiunto Gugo. Infatti, se \(a_n\ge 0\) e la serie \(\sum a_n\) converge, allora \(a_n\to 0\) quindi, in particolare, \(a_n\le 1\) per ogni \(n\) sufficientemente grande, cosicché \(a_n^3\le a_n\) e quindi
\[
\sum a_n^3 \le \sum a_n <\infty.\]
Tutto questo se ne va gambe all'aria se la serie non è a termini positivi. Per un esempio sullo stesso spirito del tuo, ma più cretino, prendi
\[
a_n=-\frac{1}{n^{1/3}}.\]
\[
\sum a_n^3 \le \sum a_n <\infty.\]
Tutto questo se ne va gambe all'aria se la serie non è a termini positivi. Per un esempio sullo stesso spirito del tuo, ma più cretino, prendi
\[
a_n=-\frac{1}{n^{1/3}}.\]
Si, io mi riferivo al problema originale, ovvero dove non è specificato se \( a_n \) è a termini positivi o negativi o alterni.
Io mi riferivo a serie generiche come era stato chiesto.
Complimenti 3m0o per il controesempio, molto bello. Solo una puntualizzazione: quando hai raccolto i termini della serie in quel modo hai assunto implicitamente di poter usare una versione infinita della proprietà associativa della somma, che però è una questione un filo delicata. Infatti lo puoi fare senza preoccupazioni solo nel caso di serie non indeterminare (quindi convergenti o divergenti). Quello che hai dimostrato quindi non è che la serie diverge, ma che il limite superiore delle somme parziali è $+\infty$, che comunque ci basta visto che ci interessava che la serie non convergesse. (Tutto questo in questo caso non era importante, ma non vorrei che ripetessi un ragionamento di questo tipo in un caso in cui veramente non va bene.)
Scusa dissonance ma questo non mi sembra un controesempio.
Complimenti 3m0o per il controesempio, molto bello. Solo una puntualizzazione: quando hai raccolto i termini della serie in quel modo hai assunto implicitamente di poter usare una versione infinita della proprietà associativa della somma, che però è una questione un filo delicata. Infatti lo puoi fare senza preoccupazioni solo nel caso di serie non indeterminare (quindi convergenti o divergenti). Quello che hai dimostrato quindi non è che la serie diverge, ma che il limite superiore delle somme parziali è $+\infty$, che comunque ci basta visto che ci interessava che la serie non convergesse. (Tutto questo in questo caso non era importante, ma non vorrei che ripetessi un ragionamento di questo tipo in un caso in cui veramente non va bene.)
"dissonance":
Per un esempio sullo stesso spirito del tuo, ma più cretino, prendi \[ a_n=-\frac{1}{n^{1/3}}. \]
Scusa dissonance ma questo non mi sembra un controesempio.
È vero, non lo è, cercavo un controesempio talmente cretino che non è neanche un controesempio. Ci vogliono serie di segno alterno per fare controesempi a questa cosa.
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