Serie convergente

[Ermete22]

Ciao ragazzi, ho un problema con questa serie, mi aiutate?
Serie da 1 a + infinito di

Sin(n)*Sin(1/n)*Tan(1/n)

Ho dimostrato per confronto asintotico che la serie converge,
Mi viene però richiesto di verificare che la serie (e quindi la somma degli elementi della successione) converge ad un valore diverso da 0. Come fareste? Grazie in anticipo

[otta96]

L'unica cosa che mi è venuta in mente è di usare il lemma 2.5.7 pag. 131 che puoi trovare nelle dispense di Acquistapace, che trovi in fondo a questa pagina con $a_n=sin(1/n)tan(1/n)$ e $b_n=sin(n)$, le ipotesi sono verificate (la (ii) è banale, mentre per la (i) basta che vai due pagine sotto che te lo dimostra e ti fa vedere che puoi prendere $K=1/sin(1/2)$), a questo punto il tuo obiettivo è dimostrare che la somma della serie ha lo stesso segno del primo termine (ovvero è positiva), come si fa?
Beh, avremmo raggiunto il nostro scopo se $|sum_{N=2}^(+\infty)a_nb_n| Usando il lemma, si ha che $|sum_{N=2}^(+\infty)a_nb_n|<=2Ka_2=2/sin(1/2)sin(1/2)tan(1/2)=2tan(1/2)$, saremmo molto contenti dunque se $a_1b_1-2Ka_2=sin^3(1)/cos1-2tan(1/2)$ fosse positivo, e qui ci viene in aiuto la vecchia e cara WolframAlpha che ci rivela che in effetti quella quantità È positiva, ma di pochissimo, quindi abbiamo fatto bene a non provare a verificarlo a mano e siamo stati tutto sommato fortunati. Quindi abbiamo concluso che la somma non è nulla, in particolare è positiva, e più in particolare si può osservare che in effetti abbiamo dimostrato che è la somma è maggiore di $1/100$.