Serie convergente

[Ian2]

Ciao a tutti, mi trovo di fronte ad un dilemma.
Ho la seguente serie: $ sum_(n = 1) 3/(n^(3/2)) $ .
Il libro dice che la serie converge per confronto con la serie generalizzata $ sum(1/n^alpha ) $ con $ alpha > 1 $ .
Ma dal criterio del criterio del confronto essendo $ 3/(n^(3/2)) > 1/n^(3/2) $ non posso affermare ciò. Sbaglia il libro o sbaglio io?

Grazie mille

[Dante.utopia]

Non devi applicare il teorema del confronto, bensì devi solamente confrontare le serie.

La tua serie: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^\frac{3}{2}}=3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\frac{3}{2}} \)

altro non è che una serie armonica generalizzata nella forma

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha } =\left\{\begin{matrix}
converge & se \: \alpha >1 \\
\infty & altrimenti
\end{matrix}\right. \)

con \(\displaystyle \alpha =\frac{3}{2}>1 \), quindi la serie converge!