Serie con seno e coseno
Mi aiutate a capire perchè questa serie converge ma non assolutamente?
$sum_(n =1 \ldots) (-1)^ncos(3/(4n))sen(2/n)$
So solo dire che la condizione necessaria è soddisfatta e dunque la serie può convergere
$sum_(n =1 \ldots) (-1)^ncos(3/(4n))sen(2/n)$
So solo dire che la condizione necessaria è soddisfatta e dunque la serie può convergere
Risposte
La serie non converge assolutamente perché, in valore assoluto, è asintotica alla serie armonica:
\[ \lim_{n \to + \infty } {\left | \frac {\sin {\frac{2}{n}} \cos {\frac{3}{4n}}}{\frac{1}{n}} \right | } = 2 \in \mathbb{R} ^{+} \]
Quindi non converge assolutamente. Tuttavia, essendo la serie descrescente, e con termine generale infinitesimo, valgono le condizioni del criterio di Leibniz per le serie a termini alterni. Quindi converge semplicemente per Lebniz.
\[ \lim_{n \to + \infty } {\left | \frac {\sin {\frac{2}{n}} \cos {\frac{3}{4n}}}{\frac{1}{n}} \right | } = 2 \in \mathbb{R} ^{+} \]
Quindi non converge assolutamente. Tuttavia, essendo la serie descrescente, e con termine generale infinitesimo, valgono le condizioni del criterio di Leibniz per le serie a termini alterni. Quindi converge semplicemente per Lebniz.
Non ho capito perché quell'espressione fa 2. Ma poi il teorema del confronto asintotico non dice che se la serie sopra diverge allora anche quella sotto diverge e se quella sotto converge allora anche quella sopra converge?
E come fai a dire che la serie è decrescente? Io ho provato a fare lo studio della derivata prima e ho trovato che si annulla in più punti essendo costituita da seni e coseno e quindi immagino che la funzione abbia più massimo e minimi e dunque sia oscillante.
E come fai a dire che la serie è decrescente? Io ho provato a fare lo studio della derivata prima e ho trovato che si annulla in più punti essendo costituita da seni e coseno e quindi immagino che la funzione abbia più massimo e minimi e dunque sia oscillante.
Errore mio, mi dispiace. Si erano mischiate due righe di codice. Adesso l'ho corretto.
Adesso non dovresti avere dubbi sul limite.
Sul fatto che sia decrescente, usa Taylor; sviluppa entrambi e fa il prodotto. Otterrai dei termini chiaramente decrescenti. In particolare, il primo termine è [tex]\frac{2}{n}[/tex], il che ci è confermato dal fatto che in valore assoluto la serie sia asintotica proprio alla serie armonica. Ti ricordo che non serve che la serie sia sempre decrescente, ma che lo sia almeno definitivamente. In questo caso, usando Taylor, trovi che lo è in un intorno di più infinito.
Il criterio del confronto asintotico afferma proprio ciò che dici, ma in questo caso affermerebbe che la serie "diverge assolutamente", che è equivalente a dire che non converge assolutamente.
Adesso non dovresti avere dubbi sul limite.
Sul fatto che sia decrescente, usa Taylor; sviluppa entrambi e fa il prodotto. Otterrai dei termini chiaramente decrescenti. In particolare, il primo termine è [tex]\frac{2}{n}[/tex], il che ci è confermato dal fatto che in valore assoluto la serie sia asintotica proprio alla serie armonica. Ti ricordo che non serve che la serie sia sempre decrescente, ma che lo sia almeno definitivamente. In questo caso, usando Taylor, trovi che lo è in un intorno di più infinito.
Il criterio del confronto asintotico afferma proprio ciò che dici, ma in questo caso affermerebbe che la serie "diverge assolutamente", che è equivalente a dire che non converge assolutamente.
Potevo direttamente studiare la serie del prodotto degli sviluppi del seno e coseno?
No, non sarebbe la stessa serie. Inoltre, stiamo utilizzando le serie di Taylor non tanto per studiare la serie, quanto per determinare la natura del termine generico. Una volta stabilito che il termine generico è decrescente, la serie converge per Leibniz.
Ok ora mi è chiaro! Grazie mille! 
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