Serie con seno
Salve a tutti, sono alle prese con questa serie
$ sum_(n = \2)^ (infty) sin((2pin+4)/(n+1)) $
Il limite per $n->+infty$ del termine generale è $0$ quindi la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta.
Inoltre il termine generale della serie è asintoticamente equivalente a $sin((2pin)/n)$ per $n->+infty$ ció significa che, per il criterio del confronto asintotico, le serie hanno le stesso carattere.
Vado a studiare il carattere della serie $ sum_(n = \2)^ (infty) sin((2pin)/(n)) $
In generale $-1<=sinx<=1$ quindi posso considerare $-1<=sin2pin$ e dopo aver diviso ambo i membri per $n$ ho applicato il criterio del confronto tra serie numeriche operando in questo modo
$ -1/n<= sin((2pin)/n) $
quindi la mia serie diverge negativamente per confronto con la serie armonica semplice, è corretto?
Io non ho il risultato ma inserendola nel calcolatore mi risulta che la serie dovrebbe convergere, qual è il mio errore?
Ho minorato la serie perché maggiorandola non avrei potuto applicare il criterio.
Qualcuno potrebbe dirmi se il mio ragionamento è giusto?
Spero in una vostra risposta, grazie in anticipo!
$ sum_(n = \2)^ (infty) sin((2pin+4)/(n+1)) $
Il limite per $n->+infty$ del termine generale è $0$ quindi la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta.
Inoltre il termine generale della serie è asintoticamente equivalente a $sin((2pin)/n)$ per $n->+infty$ ció significa che, per il criterio del confronto asintotico, le serie hanno le stesso carattere.
Vado a studiare il carattere della serie $ sum_(n = \2)^ (infty) sin((2pin)/(n)) $
In generale $-1<=sinx<=1$ quindi posso considerare $-1<=sin2pin$ e dopo aver diviso ambo i membri per $n$ ho applicato il criterio del confronto tra serie numeriche operando in questo modo
$ -1/n<= sin((2pin)/n) $
quindi la mia serie diverge negativamente per confronto con la serie armonica semplice, è corretto?
Io non ho il risultato ma inserendola nel calcolatore mi risulta che la serie dovrebbe convergere, qual è il mio errore?
Ho minorato la serie perché maggiorandola non avrei potuto applicare il criterio.
Qualcuno potrebbe dirmi se il mio ragionamento è giusto?
Spero in una vostra risposta, grazie in anticipo!
Risposte
C'è qualcuno che sa rispondermi? 
"fifty_50":
Ho applicato il criterio del confronto tra serie numeriche operando in questo modo
$ -1/n<= sin((2pin)/n) $
quindi la mia serie diverge negativamente (poichè c'è il meno) per confronto con la serie armonica semplice, è corretto?
Non capisco il ragionamento che hai fatto... Innanzitutto in quella disuguaglianza l'espressione a destra non coincide con quella della serie (anzi, è costantemente uguale a 0). Inoltre stimare dal basso con una serie che diverge a $-\infty$ non ti dà praticamente nessuna informazione sulla serie di partenza: a priori potrebbe divergere a $-\infty$, convergere, divergere a $+\infty$ o anche non ammettere limite.
"fifty_50":
Ho minorato la serie perché maggiandola non avrei potuto applicare il criterio.
Forse ti stai confondendo: quello che puoi fare per dimostrare che una serie diverge (in una delle due direzioni) è minorarla con una che va a $+\infty$ oppure maggiorarla con una che va a $-\infty$.
Comunque l'idea che avevi all'inizio era buona: prendi i termini della sommatoria, fatti un'idea di come si comportano (tipo che segno hanno e a cosa tendono) e di conseguenza cerca una stima che ti permetta di concludere
Magari può esseri utile osservare che $(2pi n+4)/(n+1)=2pi+(4-2pi)/(n+1)" "forall"n"in NN$:
saluti dal web.
saluti dal web.
"spugna":
[quote="fifty_50"]Ho applicato il criterio del confronto tra serie numeriche operando in questo modo
$ -1/n<= sin((2pin)/n) $
quindi la mia serie diverge negativamente (poichè c'è il meno) per confronto con la serie armonica semplice, è corretto?
Non capisco il ragionamento che hai fatto... Innanzitutto in quella disuguaglianza l'espressione a destra non coincide con quella della serie (anzi, è costantemente uguale a 0). Inoltre stimare dal basso con una serie che diverge a $-\infty$ non ti dà praticamente nessuna informazione sulla serie di partenza: a priori potrebbe divergere a $-\infty$, convergere, divergere a $+\infty$ o anche non ammettere limite.
"fifty_50":
Ho minorato la serie perché maggiandola non avrei potuto applicare il criterio.
Forse ti stai confondendo: quello che puoi fare per dimostrare che una serie diverge (in una delle due direzioni) è minorarla con una che va a $+\infty$ oppure maggiorarla con una che va a $-\infty$.
Comunque l'idea che avevi all'inizio era buona: prendi i termini della sommatoria, fatti un'idea di come si comportano (tipo che segno hanno e a cosa tendono) e di conseguenza cerca una stima che ti permetta di concludere[/quote]
Scusami, hai ragione. Ho corretto il messaggio spiegando meglio tutti i passaggi del mio ragionamento. Puoi dirmi se ha senso e se è corretto?
Grazie!
Forse mi sono espresso male: quando ho scritto che l'idea di partenza era buona mi riferivo all'idea di cercare una stima per i termini della serie, ma come lo hai fatto tu non può andare bene per due motivi:
1) non puoi usare l'equivalenza asintotica con $\sin({2 pi n}/n)$ perché questa espressione è uguale a $0$ per ogni $n$, e niente è asintoticamente equivalente a $0$, inteso come funzione costante. Osserva in particolare che in effetti $\frac{2pi n+4}{n+1}$ e $\frac{2pi n}{n}$ sono asintoticamente equivalenti, ma passando ai seni non lo sono più!
2) come già detto, se hai una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$, osservare che $a_n \ge -\frac{1}{n}$ può essere corretto ma poco utile, se non per nulla: prendi ad esempio le serie $\sum_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n})$, $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ e $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\floor{\log_2 n}}}{n}$ e osserva che, nonostante rispettino tutte la stima precedente, hanno comportamenti a due a due diversi.
Sinceramente penso che dovresti dimenticare quello che hai scritto e ricominciare da capo, magari così:
1) non puoi usare l'equivalenza asintotica con $\sin({2 pi n}/n)$ perché questa espressione è uguale a $0$ per ogni $n$, e niente è asintoticamente equivalente a $0$, inteso come funzione costante. Osserva in particolare che in effetti $\frac{2pi n+4}{n+1}$ e $\frac{2pi n}{n}$ sono asintoticamente equivalenti, ma passando ai seni non lo sono più!
2) come già detto, se hai una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$, osservare che $a_n \ge -\frac{1}{n}$ può essere corretto ma poco utile, se non per nulla: prendi ad esempio le serie $\sum_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n})$, $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ e $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\floor{\log_2 n}}}{n}$ e osserva che, nonostante rispettino tutte la stima precedente, hanno comportamenti a due a due diversi.
Sinceramente penso che dovresti dimenticare quello che hai scritto e ricominciare da capo, magari così:
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