Serie con parametro
salve 
l'esercizio è il seguente:
per quali valori $ a<0 $ la serie converge:
$\sum_{n=0}^(+oo) [1-cos(1/(1+n))^(-a)][(n+2)^3]$
la serie è a termini positivi
svolgendo ottengo che il termine generale è asintotico a : $(1/2) n^(2a+3)$
per cui distinguo due casi:
$a != -3/2$ : in questo caso converge per $a<-2$
Io non capisco per $a=-3/2$ il termine generale come si comporta: ho una forma indeterminata del tipo $[+oo^0]$
come la risolvo? se scrivo $(1/2)n^0-> 1/2$ per cui la condizione necessaria non è soddisfatta allora diverge è sbagliato?
e poi volevo chiedere una cosa riguardo lo studio di una funzione:
$[e^(-x)]/[x sqrt(|x+1|)]$
praticamente quando studio i limiti alla frontiera per $ x-> -oo $ dovrebbe venire $-oo$ invece a me viene $+oo$ , e non riesco a capire dove sbaglio...
grazie
l'esercizio è il seguente:
per quali valori $ a<0 $ la serie converge:
$\sum_{n=0}^(+oo) [1-cos(1/(1+n))^(-a)][(n+2)^3]$
la serie è a termini positivi
svolgendo ottengo che il termine generale è asintotico a : $(1/2) n^(2a+3)$
per cui distinguo due casi:
$a != -3/2$ : in questo caso converge per $a<-2$
Io non capisco per $a=-3/2$ il termine generale come si comporta: ho una forma indeterminata del tipo $[+oo^0]$
come la risolvo? se scrivo $(1/2)n^0-> 1/2$ per cui la condizione necessaria non è soddisfatta allora diverge è sbagliato?
e poi volevo chiedere una cosa riguardo lo studio di una funzione:
$[e^(-x)]/[x sqrt(|x+1|)]$
praticamente quando studio i limiti alla frontiera per $ x-> -oo $ dovrebbe venire $-oo$ invece a me viene $+oo$ , e non riesco a capire dove sbaglio...
grazie
Risposte
"ing.cane":
per quali valori $ a<0 $ la serie converge:
$\sum_{n=0}^(+oo) [1-cos(1/(1+n))^(-a)][(n+2)^3]$
Solo una domanda... La serie è quella oppure è questa:
$\sum_{n=0}^(+oo) [1-cos(1/(1+n))]^(-a) [(n+2)^3]$ ?
"ing.cane":
e poi volevo chiedere una cosa riguardo lo studio di una funzione:
$[e^(-x)]/[x sqrt(|x+1|)]$
praticamente quando studio i limiti alla frontiera per $ x-> -oo $ dovrebbe venire $-oo$ invece a me viene $+oo$ , e non riesco a capire dove sbaglio...
Anche a me risulta $-oo$ (basta vedere il segno di quella funzione). Dovresti postare i passaggi che hai svolto se vuoi una correzione!
no no, solo l'argomento del coseno è elevato a $-a$
vabbè per il limite ho provato così:
$\lim_{x \to \+oo}(e^x)/(x(|x+1|^(1/2)))$
praticamente il termine dominante dentro la radice è la x per cui:
$\lim_{x \to \+oo}(e^(-x))/(x(|x|^(1/2)))$
$\lim_{x \to \+oo} e^(-x)/|x|^(3/2)$
uso de L'hopital due volte:
$\lim_{x \to \+oo} 4e^(-x)|x|^(1/2)->+oo$
beh cmq adesso riscrivendolo qua credo d'aver capito l'errore: $ x|x|^(1/2) -> -oo $ per cui $ x|x|^(1/2)=x^(3/2)=-oo $ e quindi ank alla fine viene -oo .... is correct?
vabbè per il limite ho provato così:
$\lim_{x \to \+oo}(e^x)/(x(|x+1|^(1/2)))$
praticamente il termine dominante dentro la radice è la x per cui:
$\lim_{x \to \+oo}(e^(-x))/(x(|x|^(1/2)))$
$\lim_{x \to \+oo} e^(-x)/|x|^(3/2)$
uso de L'hopital due volte:
$\lim_{x \to \+oo} 4e^(-x)|x|^(1/2)->+oo$
beh cmq adesso riscrivendolo qua credo d'aver capito l'errore: $ x|x|^(1/2) -> -oo $ per cui $ x|x|^(1/2)=x^(3/2)=-oo $ e quindi ank alla fine viene -oo .... is correct?
"ing.cane":
salve
l'esercizio è il seguente:
per quali valori $ a<0 $ la serie converge:
$\sum_{n=0}^(+oo) [1-cos(1/(1+n))^(-a)][(n+2)^3]$
la serie è a termini positivi
svolgendo ottengo che il termine generale è asintotico a : $(1/2) n^(2a+3)$
per cui distinguo due casi:
$a != -3/2$ : in questo caso converge per $a<-2$
Io non capisco per $a=-3/2$ il termine generale come si comporta: ho una forma indeterminata del tipo $[+oo^0]$
come la risolvo? se scrivo $(1/2)n^0-> 1/2$ per cui la condizione necessaria non è soddisfatta allora diverge è sbagliato?
grazie
Ciao .
Se $ a=-3/2 $ il termine generale è asintotico a : $1/2 $ .
Penso che la serie diverge . Dove è il problema ?
niente siccome $n^0$ in teoria è $+oo^0$ che è una forma indeterminata m'è venuto il dubbio che non potessi scrivere $n^0=1$
in realtà adesso mi sto rendendo conto che son cose cretine, però quando li stavo facendo, magari per la stanchezza, mi sembravano cose impossibili -.-'
cmq adesso i dubbi riguardo ciò li ho chiariti, grazie
in realtà adesso mi sto rendendo conto che son cose cretine, però quando li stavo facendo, magari per la stanchezza, mi sembravano cose impossibili -.-'
cmq adesso i dubbi riguardo ciò li ho chiariti, grazie
Il valore del parametro lo devi assegnare prima di andare al limite. Chiediti: "Ora che ho fissato questo ben preciso $a$, che serie ottengo?"
"ing.cane":
per cui $ x|x|^(1/2)=x^(3/2)=-oo $
Qui c'è l'errore. Supponiamo che $r$ sia un numero negativo. Allora $r sqrt( | r | )$ è un numero negativo. Portandolo dentro:
$r sqrt( | r | ) = sqrt( r^2 | r | )$ che è diventato positivo! Capisci anche tu che qualcosa non va e perdi un segno...
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