Serie con parametro
Buona sera. Torno a voi per chiedere chiarimenti e consigli sullo svolgimento di un esercizio.
Sia data la serie di argomento :
$(sqrt(n^3+4)-sqrt(n^3+1))(arctg(1/n)-sin(1/n))^alpha$ con n che va da 1 a +oo.
La serie, come avete potuto constatare è a serie positivi. ( alpha è un parametro reale positivo). E' noto che esistono dei criteri applicabili in questo caso. Ma con quale il calcolo sarebbe più facile, quasi immediato? Vi ringrazio.
alex
Sia data la serie di argomento :
$(sqrt(n^3+4)-sqrt(n^3+1))(arctg(1/n)-sin(1/n))^alpha$ con n che va da 1 a +oo.
La serie, come avete potuto constatare è a serie positivi. ( alpha è un parametro reale positivo). E' noto che esistono dei criteri applicabili in questo caso. Ma con quale il calcolo sarebbe più facile, quasi immediato? Vi ringrazio.
alex
Risposte
Ordine d'infinitesimo is da way. 
gugo...so che questo possa essere la scorciatoia più simpatica, tuttavia la nostra professoressa ancora non ha trattato l'argomento.
p.s. curiosità: come fai a svolgere con ordine d'infinitesimo...?
p.s. curiosità: come fai a svolgere con ordine d'infinitesimo...?
Eh... then criterio del rapporto is da long (but not so hard) way.
Opterò per il criterio del rapporto
Una cosa gugo: nel caso di ordine d'infinitesimo che operazioni svolgi? cioè...le funzioni a cosa dovrebbero essere approssimabili?
ho dato un'occhiata su wikipedia e fa un esempio con una funzione molto semplice. In questo caso io ho un prodotto. Come devo procedere? credo che imparare questo metodo mi possa essere d'aiuto durante una prova d'esame o la semplice risoluzione di un problema. Ti ringrazio.
Una cosa gugo: nel caso di ordine d'infinitesimo che operazioni svolgi? cioè...le funzioni a cosa dovrebbero essere approssimabili?
ho dato un'occhiata su wikipedia e fa un esempio con una funzione molto semplice. In questo caso io ho un prodotto. Come devo procedere? credo che imparare questo metodo mi possa essere d'aiuto durante una prova d'esame o la semplice risoluzione di un problema. Ti ringrazio.
Mettendo opportunamente in evidenza, mi pare che tutto si riconduca a qualcosa del tipo "stabilire l'ordine d'infinitesimo di $(1+x)^a-1$ quando $x\to 0$"; questo problema si risolve con l'ausilio di alcuni limiti fondamentali.
(Ovviamente non ho fatto conti... Diciamo che l'ho buttata lì, ma con qualche ragione.)
(Ovviamente non ho fatto conti... Diciamo che l'ho buttata lì, ma con qualche ragione.
)
"Gugo82":
Mettendo opportunamente in evidenza, mi pare che tutto si riconduca a qualcosa del tipo "stabilire l'ordine d'infinitesimo di $(1-x)^a$ quando $x\to 1$"; questo problema si risolve con l'ausilio di alcuni limiti fondamentali.
Ehm...non ti seguo. Però sto cercando di applicare quanto da te detto.
Anche perchè non ho ben capito come fare in questo caso ( non so neanche a cosa tenda il limite)
Per esempio: se dovessi avere:
$lim_x to 0^+ (x^2+(sinsqrtx)^5 +log(1+x^3))/(1-cosx+(tgx)^3)$
si riduce per confronto asintotico a $lim_x to 0^+ x^2/(1-cosx)$ grazie ai limiti notevoli. E fin qui ho tutto capito ( ho omesso i calcoli...).
Ma nel mio caso?
Sì, effettivamente mi ero "mangiato" un pezzo del limite notevole.
Però anche tu hai commesso un errore: il termine $arctg(1/n)-sin(1/n)$ è negativo per ogni $n$, quindi non è possibile elevare tutto alla $alpha$ se $alpha$ è reale... Rimedio supponendo che il testo riporti $sin(1/n)-arctg(1/n)$.
Nel caso in esame hai $\sqrt(n^3+4)-\sqrt(n^3+1)=\sqrt(n^3+1)*[\sqrt(1+3/(n^3+1))-1]=(\sqrt(n^3+1))*1/2 3/(n^3+1)*(\sqrt(1+3/(n^3+1))-1)/(1/2*3/(n^3+1))=3/2 1/\sqrt(n^3+1)*(\sqrt(1+3/(n^3+1))-1)/(1/2*3/(n^3+1))$, e quindi il primo fattore è un infinitesimo d'ordine $1/2$ rispetto a $1/n$ (qui ho applicato il limite notevolissimo $\lim_(x\to 0)((1+x)^a -1)/(a x)=1$).
Per determinare, in funzione di $alpha$, l'ordine d'infinitesimo di $[sin(1/n)-arctg(1/n)]^alpha$ si può ricorrere agli sviluppi in serie di MacLaurin delle funzioni seno ed arcotangente: si trova $sin(1/n)=1/n-1/6*1/n^3+o(1/n^3)$ e $arctg(1/n)=1/n-1/3*1/n+o(1/n^3)$, quindi $sin(1/n)-arctg(1/n)=1/6*1/n^3+o(1/n^3)$ e l'ordine d'infinitesimo di $[sin(1/n)-arctg(1/n)]^alpha$ è $3alpha$ rispetto ad $1/n$.
Ne viene che il prodotto $[\sqrt(n^3+4)-\sqrt(n^3+1)]*[sin(1/n)-arctg(1/n)]^alpha$ è $3alpha+1/2$ rispetto ad $1/n$. Per noti risultati circa la convergenza della serie armonica generalizzata e per il teorema del confronto, la serie assegnata converge se $3alpha+1/2>1$, ovvero se $alpha>1/6$, e diverge se $3alpha+1/2<=1$, ossia se $alpha<=1/6$.
Però anche tu hai commesso un errore: il termine $arctg(1/n)-sin(1/n)$ è negativo per ogni $n$, quindi non è possibile elevare tutto alla $alpha$ se $alpha$ è reale... Rimedio supponendo che il testo riporti $sin(1/n)-arctg(1/n)$.
Nel caso in esame hai $\sqrt(n^3+4)-\sqrt(n^3+1)=\sqrt(n^3+1)*[\sqrt(1+3/(n^3+1))-1]=(\sqrt(n^3+1))*1/2 3/(n^3+1)*(\sqrt(1+3/(n^3+1))-1)/(1/2*3/(n^3+1))=3/2 1/\sqrt(n^3+1)*(\sqrt(1+3/(n^3+1))-1)/(1/2*3/(n^3+1))$, e quindi il primo fattore è un infinitesimo d'ordine $1/2$ rispetto a $1/n$ (qui ho applicato il limite notevolissimo $\lim_(x\to 0)((1+x)^a -1)/(a x)=1$).
Per determinare, in funzione di $alpha$, l'ordine d'infinitesimo di $[sin(1/n)-arctg(1/n)]^alpha$ si può ricorrere agli sviluppi in serie di MacLaurin delle funzioni seno ed arcotangente: si trova $sin(1/n)=1/n-1/6*1/n^3+o(1/n^3)$ e $arctg(1/n)=1/n-1/3*1/n+o(1/n^3)$, quindi $sin(1/n)-arctg(1/n)=1/6*1/n^3+o(1/n^3)$ e l'ordine d'infinitesimo di $[sin(1/n)-arctg(1/n)]^alpha$ è $3alpha$ rispetto ad $1/n$.
Ne viene che il prodotto $[\sqrt(n^3+4)-\sqrt(n^3+1)]*[sin(1/n)-arctg(1/n)]^alpha$ è $3alpha+1/2$ rispetto ad $1/n$. Per noti risultati circa la convergenza della serie armonica generalizzata e per il teorema del confronto, la serie assegnata converge se $3alpha+1/2>1$, ovvero se $alpha>1/6$, e diverge se $3alpha+1/2<=1$, ossia se $alpha<=1/6$.
Ti ringrazio Gugo. Il testo, tuttavia, riportava quanto scritto all'inizio del thread. Beh....non sono esente dall'errore commesso sulla negatività della seconda differenza. Grazie infinite. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo