Serie con parametro

[Sk_Anonymous]

E' corretto dire che la serie


$\sum_{n=1}^{+\infty}1/(sqrt(n^alpha)+n+1)$


sia convergente per ogni valore del parametro $alpha$?


Ciao a tutti

[Nidhogg]

"giampfrank":E' corretto dire che la serie


$\sum_{n=1}^{+\infty}1/(sqrt(n^alpha)+n+1)$


sia convergente per ogni valore del parametro $alpha$?


Ciao a tutti

No! Per $alpha=0$ e $alpha=2$ la serie diverge. Poi lascio a te studiare gli altri casi!

[cavallipurosangue]

Ma non solo per quei valori del parametro. Diverge se $\alpha\le2$ e conevrge negli altri casi, no?

[Sk_Anonymous]

Scusate, per il calcolo in questione avete considerato come ragione $1/((n^(alpha/2))$ e posto $alpha/2 > 1$ (convergenza serie armonica) o come avete fatto?
grazie 1000

[cavallipurosangue]

Io ho ragionato così. Ho detto che se il grado del termine con il paramentro fosse stato minore del termine di grado uno, il primo sarebbe stato trascurabile rispetto al secondo per n verso $+\infty$, quindi la serie diverrebbe asintotica alla serie armonica, che come sappiamo diverge. Mentre se il termine con il paramentro fosse stato di grado maggiore allora sarebbe stato quello di primo grado ad esser trascurato, ma adesso dato che sicuramente il denominatore ha grado maggiore di 1 allora la serie converge.
Tutto l'interesse si sposta quindi sul termine $n^{\alpha/2}$.
Affinche quindi la serie converga si deve avere $\alpha/2>1=>\alpha>2$.