Serie con parametro
Salve a tutti. Torno alla carica con una nuova serie con parametro da studiare. Stavolta credo di avere le idee un po' più chiare, ma mi rimangono dei dubbi.
Studiare, al variare del parametro reale x, diverso da -2, la convergenza semplice e assoluta della serie:
$\sum_{n=1}^infty (x/(x+2))^n n/arctan(n)$
Ho pensato di procedere nel seguente modo.
1) Ho studiato dove $x/(x+2) >= 0$, che mi dà $(-infty; -2) U [0; +infty)$. In questo intervallo non è necessario studiare la convergenza assoluta, poichè la serie è a termini positivi.
All'interno di quest'intervallo applico il criterio della radice.
$\lim_{n \to \infty} [(x/(x+2))^n n/arctan(n)]^(1/n)= x/(x+2)$ perchè i termini $n^(1/n)$ e $(arctan(n))^(1/n)$ tendono a 1 per n che tende a infinito. Pertanto, la serie, nell'intervallo $(-infty; -2) U (0; +infty)$ converge per:
$x/(x+2)<1$, ovvero per $x>=0$
2) A questo punto, considero l'intervallo $-2
$\sum_{n=1}^infty |(x/(x+2))|^n n/arctan(n)$
A questo punto mi sorgono dei dubbi:
Posso applicare anche per lo studio della serie dei moduli il criterio della radice, e concludere quindi che la serie converge per $|x/(x+2)|<1$, ovvero per $x> -1$?
E poi ho dei dubbi su come studiare l'intervallo $-2
Veramente a me risulta $x/(x + 2) < 1 \iff x > - 2 $
Secondo me dovresti stare più attento alla risoluzione delle disequazioni, se no saranno guai...
[/quote]
Ho saltato un passaggio mentre scrivevo. La disequazione fa $x> -2$, però lo studio che ho fatto in base al criterio della radice lo posso fare nell'intervallo $(-infty; -2) U [0;+infty)$. Calcolando l'intersezione tra la soluzione della disequazione e l'intervallo in cui opero, ho concluso che x converge per $x>=0$. E' una deduzione sbagliata?
Cosa significa? Se hai trovato che la serie proposta converge assolutamente (e quindi anche semplicemente per un noto teorema) per $x > - 1 $ è chiaro che convergerà anche per $x \ge 0 $ no?
Nell'altro intervallo $(-\infty, - 2)$ la serie proposta è a termini non negativi e puoi usare la maggiorazione che ti ho scritto, perciò ti resta da studiare solo la (eventuale) convergenza semplice della serie proposta nell'intervallo $(- 2, - 1]$. Vedi un po', che succede per $x = - 1$?
Cosa significa? Se hai trovato che la serie proposta converge assolutamente (e quindi anche semplicemente per un noto teorema) per $x > - 1 $ è chiaro che convergerà anche per $x \ge 0 $ no?
Nell'altro intervallo $(-\infty, - 2)$ la serie proposta è a termini non negativi e puoi usare la maggiorazione che ti ho scritto, perciò ti resta da studiare solo la (eventuale) convergenza semplice della serie proposta nell'intervallo $(- 2, - 1]$[/quote]
Perchè avevo studiato la serie separatamente nell'intervallo in cui è a termini positivi, e in quello in cui non lo è. Però, se avessi studiato direttamente la serie dei moduli mi sarei risparmiato quel passaggio e avrei concluso direttamente che converge per $x> -1$. Solo che, per come avevo proceduto io, c'ero arrivato successivamente che convergeva per $x> -1$.
Ho due domande a questo punto:
1) Se io, invece di usare la maggiorazione, studiassi nell'intervallo $(-infty; -2)$ la serie con il criterio della radice (perchè so che in quell'intervallo la serie è a termini positivi), non potrei direttamente concludere che in tale intervallo la serie diverge? Perchè avrei che:
$\lim_{n \to \infty} ((x/(x+2)) n/arctan(n))^(1/n) = x/(x+2)$ che è sicuramente >1, dato l'intervallo in cui mi trovo.
2) Nell'intervallo (-2;-1] ho difficoltà nel capire quale approccio usare. Non penso di poter trarre informazioni con il criterio di Leibniz. Potrei utilizzare la condizione necessaria di convergenza per il termine generale $n/arctan(n)$ e concludere che, essendo tale condizione non soddisfatta, in tale intervallo la serie diverge?
Sì infatti, credo anche io che partire dalla convergenza assoluta sia più efficiente.
Ok perfetto! Intuitivamente avevo pensato che divergesse per $x \le - 1 $, però non riuscivo a formalizzare l'intuizione.
Ti ringrazio molto!
Studiare, al variare del parametro reale x, diverso da -2, la convergenza semplice e assoluta della serie:
$\sum_{n=1}^infty (x/(x+2))^n n/arctan(n)$
Ho pensato di procedere nel seguente modo.
1) Ho studiato dove $x/(x+2) >= 0$, che mi dà $(-infty; -2) U [0; +infty)$. In questo intervallo non è necessario studiare la convergenza assoluta, poichè la serie è a termini positivi.
All'interno di quest'intervallo applico il criterio della radice.
$\lim_{n \to \infty} [(x/(x+2))^n n/arctan(n)]^(1/n)= x/(x+2)$ perchè i termini $n^(1/n)$ e $(arctan(n))^(1/n)$ tendono a 1 per n che tende a infinito. Pertanto, la serie, nell'intervallo $(-infty; -2) U (0; +infty)$ converge per:
$x/(x+2)<1$, ovvero per $x>=0$
2) A questo punto, considero l'intervallo $-2
$\sum_{n=1}^infty |(x/(x+2))|^n n/arctan(n)$
A questo punto mi sorgono dei dubbi:
Posso applicare anche per lo studio della serie dei moduli il criterio della radice, e concludere quindi che la serie converge per $|x/(x+2)|<1$, ovvero per $x> -1$?
E poi ho dei dubbi su come studiare l'intervallo $-2
Risposte
Ciao BuioPesto,
Veramente a me risulta $x/(x + 2) < 1 \iff x > - 2 $
Secondo me dovresti stare più attento alla risoluzione delle disequazioni, se no potrebbero essere guai seri...
Nell'intervallo di positività puoi anche usare la maggiorazione seguente:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (x/(x+2))^n n/arctan(n) = (x/(x + 2))/arctan(1) + \sum_{n=2}^{+\infty} (x/(x+2))^n n/arctan(n) < (x/(x + 2))/arctan(1) + \sum_{n=2}^{+\infty} n(x/(x+2))^n $
L'ultima serie scritta dovrebbe suggerirti qualcosa...
"BuioPesto":
$x/(x+2) < 1$, ovvero per $x \ge 0$
Veramente a me risulta $x/(x + 2) < 1 \iff x > - 2 $
Secondo me dovresti stare più attento alla risoluzione delle disequazioni, se no potrebbero essere guai seri...
Nell'intervallo di positività puoi anche usare la maggiorazione seguente:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (x/(x+2))^n n/arctan(n) = (x/(x + 2))/arctan(1) + \sum_{n=2}^{+\infty} (x/(x+2))^n n/arctan(n) < (x/(x + 2))/arctan(1) + \sum_{n=2}^{+\infty} n(x/(x+2))^n $
L'ultima serie scritta dovrebbe suggerirti qualcosa...
"pilloeffe":
Ciao BuioPesto,
[quote="BuioPesto"]$x/(x+2) < 1$, ovvero per $x \ge 0$
Veramente a me risulta $x/(x + 2) < 1 \iff x > - 2 $
Secondo me dovresti stare più attento alla risoluzione delle disequazioni, se no saranno guai...
[/quote]Ho saltato un passaggio mentre scrivevo. La disequazione fa $x> -2$, però lo studio che ho fatto in base al criterio della radice lo posso fare nell'intervallo $(-infty; -2) U [0;+infty)$. Calcolando l'intersezione tra la soluzione della disequazione e l'intervallo in cui opero, ho concluso che x converge per $x>=0$. E' una deduzione sbagliata?
"BuioPesto":
ho concluso che x converge per $x \ge 0 $.
Cosa significa? Se hai trovato che la serie proposta converge assolutamente (e quindi anche semplicemente per un noto teorema) per $x > - 1 $ è chiaro che convergerà anche per $x \ge 0 $ no?
Nell'altro intervallo $(-\infty, - 2)$ la serie proposta è a termini non negativi e puoi usare la maggiorazione che ti ho scritto, perciò ti resta da studiare solo la (eventuale) convergenza semplice della serie proposta nell'intervallo $(- 2, - 1]$. Vedi un po', che succede per $x = - 1$?
"pilloeffe":
[quote="BuioPesto"]ho concluso che x converge per $x \ge 0 $.
Cosa significa? Se hai trovato che la serie proposta converge assolutamente (e quindi anche semplicemente per un noto teorema) per $x > - 1 $ è chiaro che convergerà anche per $x \ge 0 $ no?
Nell'altro intervallo $(-\infty, - 2)$ la serie proposta è a termini non negativi e puoi usare la maggiorazione che ti ho scritto, perciò ti resta da studiare solo la (eventuale) convergenza semplice della serie proposta nell'intervallo $(- 2, - 1]$[/quote]
Perchè avevo studiato la serie separatamente nell'intervallo in cui è a termini positivi, e in quello in cui non lo è. Però, se avessi studiato direttamente la serie dei moduli mi sarei risparmiato quel passaggio e avrei concluso direttamente che converge per $x> -1$. Solo che, per come avevo proceduto io, c'ero arrivato successivamente che convergeva per $x> -1$.
Ho due domande a questo punto:
1) Se io, invece di usare la maggiorazione, studiassi nell'intervallo $(-infty; -2)$ la serie con il criterio della radice (perchè so che in quell'intervallo la serie è a termini positivi), non potrei direttamente concludere che in tale intervallo la serie diverge? Perchè avrei che:
$\lim_{n \to \infty} ((x/(x+2)) n/arctan(n))^(1/n) = x/(x+2)$ che è sicuramente >1, dato l'intervallo in cui mi trovo.
2) Nell'intervallo (-2;-1] ho difficoltà nel capire quale approccio usare. Non penso di poter trarre informazioni con il criterio di Leibniz. Potrei utilizzare la condizione necessaria di convergenza per il termine generale $n/arctan(n)$ e concludere che, essendo tale condizione non soddisfatta, in tale intervallo la serie diverge?
Per il criterio della radice ciò che affermi in merito alla divergenza nell'intervallo $(-\infty, - 2)$ è corretto.
A livello procedurale personalmente partirei proprio con lo studio della convergenza assoluta, però non c'è una regola generale e si può procedere anche come hai fatto tu studiando prima dove la serie è a termini positivi ed applicando poi il criterio della radice.
Beh, ad esempio per $x = - 1$ la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (- 1)^n n/arctan(n) $
Questa serie non soddifa le ipotesi del criterio di Leibniz e puoi controllarne la divergenza osservando che $\AAn > 0 $ si ha $arctan(n) < n $ e quindi le somme parziali diventano in valore assoluto sempre più grandi. Dunque si può concludere che nell'intervallo $(-2, -1]$ la serie proposta non converge neanche semplicemente.
Riassumendo: la serie proposta converge assolutamente e quindi anche semplicemente per $x > - 1 $, diverge per $x \le - 1 $
A livello procedurale personalmente partirei proprio con lo studio della convergenza assoluta, però non c'è una regola generale e si può procedere anche come hai fatto tu studiando prima dove la serie è a termini positivi ed applicando poi il criterio della radice.
"BuioPesto":
Non penso di poter trarre informazioni con il criterio di Leibniz.
Beh, ad esempio per $x = - 1$ la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (- 1)^n n/arctan(n) $
Questa serie non soddifa le ipotesi del criterio di Leibniz e puoi controllarne la divergenza osservando che $\AAn > 0 $ si ha $arctan(n) < n $ e quindi le somme parziali diventano in valore assoluto sempre più grandi. Dunque si può concludere che nell'intervallo $(-2, -1]$ la serie proposta non converge neanche semplicemente.
Riassumendo: la serie proposta converge assolutamente e quindi anche semplicemente per $x > - 1 $, diverge per $x \le - 1 $
"pilloeffe":
Per il criterio della radice ciò che affermi in merito alla divergenza nell'intervallo $(-\infty, - 2)$ è corretto.
A livello procedurale personalmente partirei proprio con lo studio della convergenza assoluta, però non c'è una regola generale e si può procedere anche come hai fatto tu studiando prima dove la serie è a termini positivi ed applicando poi il criterio della radice.
Sì infatti, credo anche io che partire dalla convergenza assoluta sia più efficiente.
"pilloeffe":
Beh, ad esempio per $x = - 1$ la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (- 1)^n n/arctan(n) $
Questa serie non soddifa le ipotesi del criterio di Leibniz e puoi controllarne la divergenza osservando che $\AAn > 0 $ si ha $arctan(n) < n $ e quindi le somme parziali diventano in valore assoluto sempre più grandi. Dunque si può concludere che nell'intervallo $(-2, -1]$ la serie proposta non converge neanche semplicemente.
Riassumendo: la serie proposta converge assolutamente e quindi anche semplicemente per $x > - 1 $, diverge per $x \le - 1 $
Ok perfetto! Intuitivamente avevo pensato che divergesse per $x \le - 1 $, però non riuscivo a formalizzare l'intuizione.
Ti ringrazio molto!
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