Serie con parametro

[Rebb10]

Ciao, non riesco a svolgere questo esercizio di cui ora vi scrivo il testo:
AL variare del parametro reale $a!=-1$, stabilire se la seguente serie converge assolutamente, solo semplicemente o non converge:
$sum_{n=5}^oo 1/(a+1)^n (root(4)(n))^(a-2)$.

Ora io ho provato a discutere il primo termine, tra tonde:se $|a_n|<1$ converge, se $|a_n|=1$ allora $a=0$ e il secondo termine diverge, se $|a_n|=-1$ allora $a=-2$ e il secondo termine diverge ugualmente.

[galles90]

Ciao Rebb10,


quello che scrivo, non prenderlo per buono fino a quando non passa qualcuno "esperto" che possa darne conferma.

Sia

$a_n=(1/(a+1))^n(1/n)^((2-a)/(4)) \ qquad a ne -1, \ a in RR$

verifico per quali valori $a$ la serie non rispetti la condizione necessaria di convergenza, cioè

$lim_(n to + infty) a_n=0$

impongo che tale limite deve essere $ne 0$, cioè

$a+1>1$

$(2-a)/4>0$

risolvendo, si ottiene, che per $a>2 \ qquad a_n to + infty, \ qquad mbox{per} \ qquad n to + infty$ quindi la serie non converge, inoltre, per valori $a> -1$ la serie è $a_n>0$ cioè, la serie è a termini positivi, pertanto, possiamo verificare la convergenza semplice in $-1
Per $-1$0
la serie di termine generale $b_n$ è una serie geometrica, di ragione $q=1/(a+1)$, la quale converge se $|q|<1$, ossia per $a>0$, quindi, per il teorema del confronto, si ha la tesi.

In definitiva la serie converge semplicemente per $0
Mi fermo, vediamo se fin quì, è fatto bene, ciao.