Serie con parametro.
Buongiorno,
ho la seguente serie
Procedo cosi, applicando il criterio del rapporto, quindi determino il rapporto:
$a_(n+1)/a_n=(x^(n+1)/(x^(2n+2)+1))/(x^n/(x^(2n)+1))=x(x^(2n)+1)/(x^(2n+2)+1)=x[(x^(2n)(1+1/(x^(2n))))/(x^(2n)(x^2+1/x^(2n)))]=x[(1+1/(x^(2n))))/((x^2+1/x^(2n))]$,
passando al limite per $n to infty$,si ha $a_(n+1)/a_n=x/x^2=1/x=l$.
Per il criterio del rapporto si ha la convergenza quando $l<1$, allora $ 1/x<1 $ per $ x<0 vee x>1.$
Il risulyato è $|x| ne 1$, dove ho sbagliato ?
Ciao
ho la seguente serie
$sum_(n=1)^(+infty)(x^n/(x^(2n)+1))$
dove chiede di determinare la convergenza, al variare del parametro $x in mathbb{R}.$Procedo cosi, applicando il criterio del rapporto, quindi determino il rapporto:
$a_(n+1)/a_n=(x^(n+1)/(x^(2n+2)+1))/(x^n/(x^(2n)+1))=x(x^(2n)+1)/(x^(2n+2)+1)=x[(x^(2n)(1+1/(x^(2n))))/(x^(2n)(x^2+1/x^(2n)))]=x[(1+1/(x^(2n))))/((x^2+1/x^(2n))]$,
passando al limite per $n to infty$,si ha $a_(n+1)/a_n=x/x^2=1/x=l$.
Per il criterio del rapporto si ha la convergenza quando $l<1$, allora $ 1/x<1 $ per $ x<0 vee x>1.$
Il risulyato è $|x| ne 1$, dove ho sbagliato ?
Ciao
Risposte
Il criterio di D'Alembert così espresso funziona per le serie a termini positivi, in realtà.
Ciao galles90,
Esatto, quindi mi viene da dire che ti è sfuggito il fatto che la serie proposta non è a termini positivi, per cui devi considerare la serie assoluta. Osserverei anche che per $x = 0 $ la serie proposta converge a $ 0 $, mentre invece certamente non converge per $|x| = 1 $
"SirDanielFortesque":
Il criterio di D'Alembert così espresso funziona per le serie a termini positivi, in realtà.
Esatto, quindi mi viene da dire che ti è sfuggito il fatto che la serie proposta non è a termini positivi, per cui devi considerare la serie assoluta. Osserverei anche che per $x = 0 $ la serie proposta converge a $ 0 $, mentre invece certamente non converge per $|x| = 1 $
Buongiorno,
esatto, comunque rifacendo i passaggi :
$|(x^(n+1))/(x^(2n+2)+1)(x^(2n)+1)/(x^n)|=|(x(x^(2n)+1))/(x^(2n+2)+1)|=|x||(x^(2n)+1)/(x^(2n+2)+1)|=|x||(x^(2n)(1+1/x^(2n)))/(x^(2n)(x^2+1/x^(2n)))|=|x||(1+1/x^(2n))/(x^2+1/x^(2n))|$
passando al limite per $n to infty $, ottengo $l=|x|/x^2$, quindi per il criterio del rapporto si ha la convergenza per: $l=|x|/x^2 <1, \ qquad x<-1 vee x>1, \ qquad to \ qquad |x|>1.$
Tenuto conto del fatto che converge anche per $x=0$, ottengo che la serie proposta converge per i valori ${x in mathbb{R}: |x|>1 vee x=0}$.
Quindi, dove ho sbagliato ?
Ciao.
esatto, comunque rifacendo i passaggi :
$|(x^(n+1))/(x^(2n+2)+1)(x^(2n)+1)/(x^n)|=|(x(x^(2n)+1))/(x^(2n+2)+1)|=|x||(x^(2n)+1)/(x^(2n+2)+1)|=|x||(x^(2n)(1+1/x^(2n)))/(x^(2n)(x^2+1/x^(2n)))|=|x||(1+1/x^(2n))/(x^2+1/x^(2n))|$
passando al limite per $n to infty $, ottengo $l=|x|/x^2$, quindi per il criterio del rapporto si ha la convergenza per: $l=|x|/x^2 <1, \ qquad x<-1 vee x>1, \ qquad to \ qquad |x|>1.$
Tenuto conto del fatto che converge anche per $x=0$, ottengo che la serie proposta converge per i valori ${x in mathbb{R}: |x|>1 vee x=0}$.
Quindi, dove ho sbagliato ?
Ciao.
"galles90":
Quindi, dove ho sbagliato ?
La serie proposta converge assolutamente e quindi anche semplicemente nell'insieme che hai già determinato. Può darsi che converga semplicemente per $ |x| < 1 $ ...
"pilloeffe":
La serie proposta converge assolutamente e quindi anche semplicemente nell'insieme che hai già determinato.
Su questo ci sono
. Invece per quanto riguarda
"pilloeffe":
Può darsi che converga semplicemente per $ x \in (0,1) $ e per $ x \in (-1,0) $ ...
questo non mi è chiaro, cioè, ad esempio per valori $x in (-1,0)$, la serie è a temini negativi.
Per $|x| < 1 $ si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(x^n/(x^(2n)+1)) <= \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n = x/(1 - x) $
essendo l'ultima scritta una serie geometrica di ragione minore di $ 1 $ che parte da $n = 1 $. Quindi...
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(x^n/(x^(2n)+1)) <= \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n = x/(1 - x) $
essendo l'ultima scritta una serie geometrica di ragione minore di $ 1 $ che parte da $n = 1 $. Quindi...
Si ho capito, tutto chiaro, quindi la serie converge per ogni $|x| ne 1$.
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
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