Serie con parametro
ragazzi sto svolgendo questa serie ma non mi esce spero che mi aiutate a trovare l'errore. $sum_{n=1}^{+\infty} [(2n-1)^n(x+1)^n]/(2^(n-1)n^n $ .
per svolgerla ho deciso di usare la convergenza assoluta e il criterio della radice.
quindi ho : $| lim_(n -> oo) root(n)(((2n-1)^n(x+1)^n / (2^(n+1)n^n)) | $
$| lim_(n-> 00) [(2n-1)(x+1)]/2^[((n-1)/2 )n] |$ ( n moltiplica 2 ma non lo riesco a mettere non so se si capiva).
$ |x+1|lim_(n -> oo) |[n(2-1/n)]/(n(2^([n-1]/n)) |$
da cui $|x+1|1<1->-2
per svolgerla ho deciso di usare la convergenza assoluta e il criterio della radice.
quindi ho : $| lim_(n -> oo) root(n)(((2n-1)^n(x+1)^n / (2^(n+1)n^n)) | $
$| lim_(n-> 00) [(2n-1)(x+1)]/2^[((n-1)/2 )n] |$ ( n moltiplica 2 ma non lo riesco a mettere non so se si capiva).
$ |x+1|lim_(n -> oo) |[n(2-1/n)]/(n(2^([n-1]/n)) |$
da cui $|x+1|1<1->-2
Risposte
Ciao VALE0,
Hai fatto un po' di confusione, moduli messi nel posto sbagliato, ma l'idea di usare la convergenza assoluta ed il criterio della radice è buona ed il risultato è corretto.
Molto più semplicemente si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} [(2n-1)^n(x+1)^n]/(2^(n-1) n^n) = 2 sum_{n=1}^{+\infty} [(2n-1)^n(x+1)^n]/((2n)^n) = 2 sum_{n=1}^{+\infty} (frac{2n - 1}{2n})^n (x+1)^n = 2 sum_{n=1}^{+\infty} a_n(x) $
Perciò la serie assoluta da studiare è la seguente:
$ sum_{n=1}^{+\infty} |a_n(x)| = sum_{n=1}^{+\infty} (frac{2n - 1}{2n})^n |x+1|^n $
Applicando a quest'ultima serie il criterio della radice, si ha:
$ lim_{n \to +\infty} root[n] |a_n(x)| = lim_{n \to +\infty} frac{2n - 1}{2n} |x + 1| = |x + 1| $
Affinché la serie assoluta converga, è necessario che sia $|x + 1| < 1 \implies - 2 < x < 0 $
Poiché la serie converge assolutamente per $- 2 < x < 0 $, si conclude che la serie proposta converge semplicemente per $- 2 < x < 0 $
Hai fatto un po' di confusione, moduli messi nel posto sbagliato, ma l'idea di usare la convergenza assoluta ed il criterio della radice è buona ed il risultato è corretto.
Molto più semplicemente si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} [(2n-1)^n(x+1)^n]/(2^(n-1) n^n) = 2 sum_{n=1}^{+\infty} [(2n-1)^n(x+1)^n]/((2n)^n) = 2 sum_{n=1}^{+\infty} (frac{2n - 1}{2n})^n (x+1)^n = 2 sum_{n=1}^{+\infty} a_n(x) $
Perciò la serie assoluta da studiare è la seguente:
$ sum_{n=1}^{+\infty} |a_n(x)| = sum_{n=1}^{+\infty} (frac{2n - 1}{2n})^n |x+1|^n $
Applicando a quest'ultima serie il criterio della radice, si ha:
$ lim_{n \to +\infty} root[n] |a_n(x)| = lim_{n \to +\infty} frac{2n - 1}{2n} |x + 1| = |x + 1| $
Affinché la serie assoluta converga, è necessario che sia $|x + 1| < 1 \implies - 2 < x < 0 $
Poiché la serie converge assolutamente per $- 2 < x < 0 $, si conclude che la serie proposta converge semplicemente per $- 2 < x < 0 $
Grazie ora aggiusto i moduli 
non capisco solo perché all'inizio mette uguale a 2.
non capisco solo perché all'inizio mette uguale a 2.
"VALE0":
Grazie
Prego!
"VALE0":
non capisco solo perché all'inizio mette uguale a 2
Innanzitutto non darmi del lei, che non si usa sul forum e poi mi fai sentire più vecchio di quello che sono...
Il motivo è che al denominatore di $a_n(x) $ compare $2^{n - 1} $ e fa molto comodo far diventare quell'esponente $n$ perché così lo si rende uguale a quello di tutti gli altri fattori che compaiono in $a_n(x) $. A tal fine ho moltiplicato numeratore e denominatore di $a_n(x) $ per $2$ e poi ho portato il $2$ al numeratore fuori dalla serie.
grazie:))
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