Serie con parametro
Ciao, devo risolvere questa serie$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n^4 + 1) - root(3)(n^6 + 4))/n^(\alpha) $
Ho pensato di fare per $n -> oo$ ,quindi $n^(6/3)/n^(\alpha)$
Quindi devo far si che $\alpha > 1$, quindi $\alpha - 2 > 1$ quindi $\alpha > 3$
però le probabili risposte sono:
$\alpha < 1$
$\alpha < 0$
$\alpha < 2$
$\alpha < 1/2$
qualcuno sa indicarmi il motivo per cui sbaglio?
Ho pensato di fare per $n -> oo$ ,quindi $n^(6/3)/n^(\alpha)$
Quindi devo far si che $\alpha > 1$, quindi $\alpha - 2 > 1$ quindi $\alpha > 3$
però le probabili risposte sono:
$\alpha < 1$
$\alpha < 0$
$\alpha < 2$
$\alpha < 1/2$
qualcuno sa indicarmi il motivo per cui sbaglio?
Risposte
Si praticamente stai sbagliando a nominatore, facendo come dici te si ha:
$ \sum_{n=1}^oo (n^2 - n^2)/n^(\alpha) $
che è una cancellazione, quindi devi razionalizzare..
$ \sum_{n=1}^oo (n^2 - n^2)/n^(\alpha) $
che è una cancellazione, quindi devi razionalizzare..
ti provo a dare un input iniziale: raccogli gli infiniti di ordine superiore nelle radici e portali fuori. raccogli $n^2$ e applica gli sviluppi
@cooper ho raccolto $n^2$ avendo cosi $(n^2 * (n^-2 - n^-2))/n^(\alpha)$ però ottengo di nuovo $\alpha > 3$..
$n^2 sqrt(1+1/n^4)-n^2 root(3)(1+4/n^6)= n^2[sqrt(1+1/n^4)- root(3)(1+4/n^6)]$ e poi applichi Taylor
Ciao Carmeluccio,
Oppure, continuando da ciò che ti ha suggerito cooper:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(sqrt(n^4 + 1) - root(3)(n^6 + 4))/n^(\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty}frac{n^2(sqrt(1 + 1/n^2) - root(3)(1 + 4/n^6))}{n^{\alpha}} = \sum_{n=1}^{+\infty}frac{sqrt(1 + 1/n^2) - root(3)(1 + 4/n^6)}{n^{\alpha - 2}} = $
$= \sum_{n=1}^{+\infty}frac{(sqrt(1 + 1/n^2) - 1) - (root(3)(1 + 4/n^6) - 1)}{n^{\alpha - 2}} = \sum_{n=1}^{+\infty} frac{sqrt(1 + 1/n^2) - 1}{n^{\alpha - 2}} - \sum_{n=1}^{+\infty}frac{root(3)(1 + 4/n^6) - 1}{n^{\alpha - 2}} =$
$= \sum_{n=1}^{+\infty} frac{sqrt(1 + 1/n^2) - 1}{1/n^2} \cdot frac {1}{n^{\alpha}} - 4\sum_{n=1}^{+\infty} frac{root(3)(1 + 4/n^6) - 1}{4/n^6} \cdot frac {1}{n^{\alpha + 4}} = frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {1}{n^{\alpha}} - frac{4}{3}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {1}{n^{\alpha + 4}} =$
$= frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {n^4}{n^{\alpha + 4}} - frac{4}{3}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {1}{n^{\alpha + 4}} = \sum_{n=1}^{+\infty} (frac {n^4}{2n^{\alpha + 4}} - frac {4}{3n^{\alpha + 4}}) = \sum_{n=1}^{+\infty} frac {3n^4 - 8}{6n^{\alpha + 4}}$
Per cui direi che converge per $\alpha > 1$.
Oppure, continuando da ciò che ti ha suggerito cooper:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(sqrt(n^4 + 1) - root(3)(n^6 + 4))/n^(\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty}frac{n^2(sqrt(1 + 1/n^2) - root(3)(1 + 4/n^6))}{n^{\alpha}} = \sum_{n=1}^{+\infty}frac{sqrt(1 + 1/n^2) - root(3)(1 + 4/n^6)}{n^{\alpha - 2}} = $
$= \sum_{n=1}^{+\infty}frac{(sqrt(1 + 1/n^2) - 1) - (root(3)(1 + 4/n^6) - 1)}{n^{\alpha - 2}} = \sum_{n=1}^{+\infty} frac{sqrt(1 + 1/n^2) - 1}{n^{\alpha - 2}} - \sum_{n=1}^{+\infty}frac{root(3)(1 + 4/n^6) - 1}{n^{\alpha - 2}} =$
$= \sum_{n=1}^{+\infty} frac{sqrt(1 + 1/n^2) - 1}{1/n^2} \cdot frac {1}{n^{\alpha}} - 4\sum_{n=1}^{+\infty} frac{root(3)(1 + 4/n^6) - 1}{4/n^6} \cdot frac {1}{n^{\alpha + 4}} = frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {1}{n^{\alpha}} - frac{4}{3}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {1}{n^{\alpha + 4}} =$
$= frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {n^4}{n^{\alpha + 4}} - frac{4}{3}\sum_{n=1}^{+\infty} frac {1}{n^{\alpha + 4}} = \sum_{n=1}^{+\infty} (frac {n^4}{2n^{\alpha + 4}} - frac {4}{3n^{\alpha + 4}}) = \sum_{n=1}^{+\infty} frac {3n^4 - 8}{6n^{\alpha + 4}}$
Per cui direi che converge per $\alpha > 1$.
vorrei anche far notare che le soluzioni proposte non possono essere corrette. il numeratore infatti va a zero come $1/n^2$. se quindi prendiamo un $alpha$ negativo e maggiore in valore assoluto a 2, non è mai soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza. prendi per es $alpha = -3$ che è comune a tutte e 4 le soluzioni. la serie si comporta come $1/(n^(2-3))=n$ che chiaramente per $n->+oo$ non converge
Ora mi è tutto più chiaro, grazie a tutti !! 
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