Serie con parametro
Salve a tutti, sto svolgendo la seguente serie al variare del parametro reale positivo $ alpha $
$ sum pi/2 - arctan(n^(alpha/2)) $
ho provato con il confronto asintotico con la serie $ sum 1/n^beta $
ma svolgendo il limite non riesco a venirne a capo.
Ho bisogno di aiuto
$ sum pi/2 - arctan(n^(alpha/2)) $
ho provato con il confronto asintotico con la serie $ sum 1/n^beta $
ma svolgendo il limite non riesco a venirne a capo.
Ho bisogno di aiuto
Risposte
\[ \arctan (t) = \frac{\pi}{2} - \arctan ( \frac {1}{t} ) \]
ahhh grazie della risposta
quindi in base a questa formula
la mia serie sarebbe uguale a $ sum(arctan(n^(alpha/2)) $
e quidni mi basta metterla a confornto con la serie $ sum 1/(n^(alpha/2)) $
giusto?
chiedo conferma solo per vedere se ho capito bene
quindi in base a questa formula
la mia serie sarebbe uguale a $ sum(arctan(n^(alpha/2)) $
e quidni mi basta metterla a confornto con la serie $ sum 1/(n^(alpha/2)) $
giusto?
chiedo conferma solo per vedere se ho capito bene
No, la tua serie è
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \arctan \left ( \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}} \right ) \]
(Credo sia un errore di battitura)
Quindi si, puoi confrontarla con la serie armonica generalizzata di esponente $ \frac{alpha}{2} $
Hai qualche idea sul come si potrebbe dimostrare la relazione che ti ho suggerito? Per usarla, bisogna anche verificare che sia corretta, no?
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \arctan \left ( \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}} \right ) \]
(Credo sia un errore di battitura)
Quindi si, puoi confrontarla con la serie armonica generalizzata di esponente $ \frac{alpha}{2} $
Hai qualche idea sul come si potrebbe dimostrare la relazione che ti ho suggerito? Per usarla, bisogna anche verificare che sia corretta, no?
Grazie mille!!!
sì era un errore di battitura il mio.
Per quel che riguarda la dimostrazione ad onor del vero non la conosco, quindi, mi sono andato a leggere qualcosa a riguardo anche se non ho trovato un gran che ma azzardo qualcosa su ciò che ho trovato.
Sapendo che:
$ x = tan(y) = sin(y)/cos(y) $
ora conoscendo che seno e coseno sono tra loro "sfalzati" di un $ pi/2 $ allora $ tan(pi/2 -y) = sin(pi/2 -y)/cos(pi/2 -y) = cos(y)/sin(y) = 1/tan(y)$
"applicando" poi l' $ arctan $ ad ambo i membri se non ho capito male si dovrebbe avere l'identità da dimostrare.
sì era un errore di battitura il mio.
Per quel che riguarda la dimostrazione ad onor del vero non la conosco, quindi, mi sono andato a leggere qualcosa a riguardo anche se non ho trovato un gran che ma azzardo qualcosa su ciò che ho trovato.
Sapendo che:
$ x = tan(y) = sin(y)/cos(y) $
ora conoscendo che seno e coseno sono tra loro "sfalzati" di un $ pi/2 $ allora $ tan(pi/2 -y) = sin(pi/2 -y)/cos(pi/2 -y) = cos(y)/sin(y) = 1/tan(y)$
"applicando" poi l' $ arctan $ ad ambo i membri se non ho capito male si dovrebbe avere l'identità da dimostrare.
Uhm, si. Credo possa andare. Di solito però si fa in questo modo:
\[ f(x) = \arctan (x) + \arctan \left (\frac {1}{x} \right) \]
Calcoliamo la derivata prima di $ f(x)$ :
\[ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} + \left ( - \frac{1}{x^2 \left ( 1 + \frac{1}{x^2} \right )} \right ) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0 \]
L'unica funzione che ha derivata sempre nulla è la funzione costante. Quindi
\[ f(x) = \arctan (x) + \arctan \left (\frac {1}{x} \right ) = k \]
Per trovare il valore di $k$, basta prendere una $x$ qualsiasi:
per $x = 1$,
\[ \arctan (1) + \arctan (1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi} {2} \]
Quindi otteniamo la relazione cercata, cioè
\[ \arctan (x) + \arctan \left (\frac {1}{x} \right ) = \frac{\pi}{2} \]
Ci sono altri modi per dimostrare questa relazione; questo, secondo me, è il più semplice da intuire, per uno studente di analisi matematica. C'è anche un'altra relazione, molto simile, che può essere dimostrata in questo modo:
\[ \arccos(x) + \arcsin (x) = \frac{\pi}{2} \]
In questo caso non c'è neanche bisogno di derivare, perchè, come sappiamo, le derivate di arcocoseno ed arcoseno sono uguali in modulo, ma di segno diverso. Quindi la somma delle loro derivate è sempre nulla
\[ f(x) = \arctan (x) + \arctan \left (\frac {1}{x} \right) \]
Calcoliamo la derivata prima di $ f(x)$ :
\[ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} + \left ( - \frac{1}{x^2 \left ( 1 + \frac{1}{x^2} \right )} \right ) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0 \]
L'unica funzione che ha derivata sempre nulla è la funzione costante. Quindi
\[ f(x) = \arctan (x) + \arctan \left (\frac {1}{x} \right ) = k \]
Per trovare il valore di $k$, basta prendere una $x$ qualsiasi:
per $x = 1$,
\[ \arctan (1) + \arctan (1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi} {2} \]
Quindi otteniamo la relazione cercata, cioè
\[ \arctan (x) + \arctan \left (\frac {1}{x} \right ) = \frac{\pi}{2} \]
Ci sono altri modi per dimostrare questa relazione; questo, secondo me, è il più semplice da intuire, per uno studente di analisi matematica. C'è anche un'altra relazione, molto simile, che può essere dimostrata in questo modo:
\[ \arccos(x) + \arcsin (x) = \frac{\pi}{2} \]
In questo caso non c'è neanche bisogno di derivare, perchè, come sappiamo, le derivate di arcocoseno ed arcoseno sono uguali in modulo, ma di segno diverso. Quindi la somma delle loro derivate è sempre nulla
Tutto chiaro, grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo