Serie con parametro

[SeleneR]

Devo stabilire per quali valori di a converge questa serie

$ \ sum _ {n=1}^infty (((n+1)!)/(n!+3^n))^a $

Avevo riscritto $ (n+1)! $ come $(n+1)n! $ per definizione di fattoriale... Però non riesco a semplificare la serie in nessun modo perchè all' $infty$ al denominatore prevale $ 3^n $ ... Come posso fare?

[dan952]

La condizione necessaria è soddisfatta?
Cioè $\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0$ ?
Per $a \geq 0$ mi sembra di no
Per $a \leq 0$ mi sembra di si e la serie va come le serie $\sum \frac{1}{n^a}$ lo si vede da questo confronto
$$\sum (\frac{(n+1)!}{n!2})^a \leq \sum (\frac{(n+1)!}{n!+3^n})^a \leq \sum (\frac{(n+1)}{n!})^a$$
Ti ricordo che $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{3^n}{n!}=0$...

[quantunquemente]

"SeleneR":



non riesco a semplificare la serie in nessun modo perchè all' $ infty $ al denominatore prevale $ 3^n $

non direi : il fattoriale è più veloce

[dan952]

Scusa è per $a<0$ non per $a \leq 0$ che è soddisfatta

[SeleneR]

"quantunquemente":[quote="SeleneR"]



non riesco a semplificare la serie in nessun modo perchè all' $ infty $ al denominatore prevale $ 3^n $

non direi : il fattoriale è più veloce[/quote]


Ah, quindi andrebbe bene:

$ (((n+1)!)/(n! + 3^n))^a -> (((n+1)n!)/(n!))^a -> (n+1)^a -> 1/(n+1)^-a rArr $ la serie converge per $ -a < 1 -> a > -1 $ ???

[quantunquemente]

penso che il tuo sia un errore di distrazione : per $-a>1$

[SeleneR]

Ah sì, sì, perfetto grazie mille per il chiarimento!