SERIE CON METODO DEL RAPPORTO.......complicata
$\sum_{n=1}^N [2^n/ (n^2 + 4 )] ^(4n^2)$
col criterio del rapporto verrebbe
$\lim_{n \to \infty} [ 2^(n+1) / [ (n+1) ^2 +4]]^[4(n+1)^2] [( n^2 +4)/ 2^n]^(4n^2)$
ora come dovrei proseguire?
$\lim_{n \to \infty} [(2^(n+1))^(4(n+1)^2)]/[ (n+1)^2 +4)^(4(n+1)^2)] [ (n^2+4)^(4n^2)]/ [(2^n)^(4n^2)]$
ho scisso numeratore e denominatore....qlcuno ha qlke idea su come risolverla???
col criterio del rapporto verrebbe
$\lim_{n \to \infty} [ 2^(n+1) / [ (n+1) ^2 +4]]^[4(n+1)^2] [( n^2 +4)/ 2^n]^(4n^2)$
ora come dovrei proseguire?
$\lim_{n \to \infty} [(2^(n+1))^(4(n+1)^2)]/[ (n+1)^2 +4)^(4(n+1)^2)] [ (n^2+4)^(4n^2)]/ [(2^n)^(4n^2)]$
ho scisso numeratore e denominatore....qlcuno ha qlke idea su come risolverla???
Risposte
La serie diverge perché non è verificata la condizione che
$lim_{n->+infty}a_{n}=0$
Infatti
$lim_{n->+infty}[2^{2}/(n^2+1)]^{4n^2}=lim_{n->+infty}\ exp[4n^2ln[2^n/(n^2+4)]]=+infty$.
Non ho capito se devi utilizzare per forza il metodo del rapporto.
$lim_{n->+infty}a_{n}=0$
Infatti
$lim_{n->+infty}[2^{2}/(n^2+1)]^{4n^2}=lim_{n->+infty}\ exp[4n^2ln[2^n/(n^2+4)]]=+infty$.
Non ho capito se devi utilizzare per forza il metodo del rapporto.
si sono COSTRETTO a utilizzare il metodo del rapporto.
qualche idea?
qualche idea?
ciao..secondo me devi provare con il metodo della radice quadrata.
e poi svolgi il limite,che dovrebbe venire infinito,diverge
..credo
..credo
eseguendo i calcoli della frazione indicata nel criterio del rapporto, si può arrivare alla forma $((2^(3n^2+3n+1))/((n^2+2n+5)^(n+1)))^4$
se pensi possa essere significativo, ti posto i passaggi. io purtroppo non ho molta dimestichezza con le serie. ciao.
se pensi possa essere significativo, ti posto i passaggi. io purtroppo non ho molta dimestichezza con le serie. ciao.
Se devi usare il criterio del rapporto, il limite lo scriverei in questo modo
$lim_{x->+infty}(n^2+4)^(4n^2)/[(n+1)^2+4]^{4(n+1)^2}cdot 2^{4(n+1)^3}/[2^{4n^3}]$
Considerando le due parti, queste tendono entrambe a $+infty$, per cui la serie diverge. Per il primo rapporto, mi sono riportato all'esponenziale: al limite ti posto i passaggi se dovessi avre problemi.
Ciao
$lim_{x->+infty}(n^2+4)^(4n^2)/[(n+1)^2+4]^{4(n+1)^2}cdot 2^{4(n+1)^3}/[2^{4n^3}]$
Considerando le due parti, queste tendono entrambe a $+infty$, per cui la serie diverge. Per il primo rapporto, mi sono riportato all'esponenziale: al limite ti posto i passaggi se dovessi avre problemi.
Ciao
perchè al secondo addendo la potenza è al cubo????
Perché
$[2^n]^{4n^2}=2^{4n cdot n^2}=2^{4n^3}$
Analogo discorso per
$[2^{n+1}]^{4(n+1)^2}=2^{4(n+1)^3}$
$[2^n]^{4n^2}=2^{4n cdot n^2}=2^{4n^3}$
Analogo discorso per
$[2^{n+1}]^{4(n+1)^2}=2^{4(n+1)^3}$
Capisco la necessità di utilizzare il criterio del rapporto...Prima di procedere a studiare il carattere della serie però si verifica sempre la condizione descritta da olaxgabry...
un ultima cosa
perchè entrambi i limiti vanno a infinito?????
Cmq vi ringrazio infinitamente
perchè entrambi i limiti vanno a infinito?????
Cmq vi ringrazio infinitamente
Il secondo rapporto è
$2^{4(n^3+3n^2+3n+1)}/[2^{4n^3}]=2^{4(3n^2+3n+1)}$
Quindi il limite è infinito. L'altra parte scrivitela come
$(n^2+4)^{4n^2}/[(n+1^2+4)^{4(n+1)^2}]=e^{4n^2ln(n^2+4)}/[e^{4(n+1)^2ln[(n+1)^2+4]}]=e^{4n^{2}ln(n^2+4)-4(n+1)^{2}ln[(n+1)^{2}+4]}$
Lavora sull'esponente, magari mettendo in evidenza $(n+1)^2ln[(n+1)^2+4]$ e ti dovrebbe venire infinito.
Se hai problemi ti posto i passaggi domani, purtroppo ora vado di fretta.
Ciao
$2^{4(n^3+3n^2+3n+1)}/[2^{4n^3}]=2^{4(3n^2+3n+1)}$
Quindi il limite è infinito. L'altra parte scrivitela come
$(n^2+4)^{4n^2}/[(n+1^2+4)^{4(n+1)^2}]=e^{4n^2ln(n^2+4)}/[e^{4(n+1)^2ln[(n+1)^2+4]}]=e^{4n^{2}ln(n^2+4)-4(n+1)^{2}ln[(n+1)^{2}+4]}$
Lavora sull'esponente, magari mettendo in evidenza $(n+1)^2ln[(n+1)^2+4]$ e ti dovrebbe venire infinito.
Se hai problemi ti posto i passaggi domani, purtroppo ora vado di fretta.
Ciao
ok grz mille ciao
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