Serie con ln fattoriale
buonasera! mi sono bloccata sullo studio sulla convergenza o meno della seguente serie:
sommatoria che va da 2 a inf di $ 1/(n lnn!) $
Qualcuno sa dirmi come posso iniziare?
sommatoria che va da 2 a inf di $ 1/(n lnn!) $
Qualcuno sa dirmi come posso iniziare?
Risposte
Ciao Ramona97,
La serie proposta converge per il criterio del confronto, infatti $ln n! > sqrt{n}/4 \quad \AA n ge 2 $, per cui si ha:
$sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n ln n!} < sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n \cdot frac{sqrt{n}}{4}} = 4 sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n \cdot sqrt{n}} = 4 sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n^{3/2}} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1$ che è convergente: pertanto la serie proposta è convergente.
La serie proposta converge per il criterio del confronto, infatti $ln n! > sqrt{n}/4 \quad \AA n ge 2 $, per cui si ha:
$sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n ln n!} < sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n \cdot frac{sqrt{n}}{4}} = 4 sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n \cdot sqrt{n}} = 4 sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n^{3/2}} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1$ che è convergente: pertanto la serie proposta è convergente.
Oppure, per la formula di Stirling hai $log n! sim log (n^(n+1/2) e^(-n))$ e poi concludi con un confronto con la serie $sum 1/(n^p log n)$, che converge per $p>1$.
Un altro possibile modo è il seguente.
Poiché $e^n=o(n!)$, si ha che $e^n\log(e^n)$ definitivamente. Pertanto sempre definitivamente vale $$\frac{1}{n\log(n!)}<\frac{1}{n\log(e^n)}=\frac{1}{n^2\log(e)}=\frac{1}{n^2}$$
Concludi ora con il criterio del confronto.
Poiché $e^n=o(n!)$, si ha che $e^n
Concludi ora con il criterio del confronto.
"pilloeffe":
infatti $ln n! > sqrt{n}/4 \quad \AA n ge 2 $
Bella questa disuguaglianza, da dove viene? A meno che non mi sfugga qualcosa non mi sembra immediata.
Ciao siddy98,
Grazie. Ammetto di non averla trovata analiticamente (poi non escludo che si possa trovare anche la dimostrazione analitica, magari basata proprio sull'approssimazione di Stirling di cui ha scritto gugo82), ma graficamente: basta fare il grafico di $ ln n! $ per alcuni valori di $n\in \NN $ e si può vedere chiaramente che sta sempre sopra il grafico di $c sqrt{n} $ ove $c $ è una costante da scegliere opportunamente. Nel caso in esame ho scelto $c = 1/4 $ in modo che la disuguaglianza valesse $\AA n \ge 2$ visto che la serie proposta parte da $n = 2$
"siddy98":
Bella questa disuguaglianza, da dove viene?
Grazie. Ammetto di non averla trovata analiticamente (poi non escludo che si possa trovare anche la dimostrazione analitica, magari basata proprio sull'approssimazione di Stirling di cui ha scritto gugo82), ma graficamente: basta fare il grafico di $ ln n! $ per alcuni valori di $n\in \NN $ e si può vedere chiaramente che sta sempre sopra il grafico di $c sqrt{n} $ ove $c $ è una costante da scegliere opportunamente. Nel caso in esame ho scelto $c = 1/4 $ in modo che la disuguaglianza valesse $\AA n \ge 2$ visto che la serie proposta parte da $n = 2$
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