Serie con Leibniz

[Gmork]

Vorrei sapere, nel caso la serie a segni alterni in esami sia:

$\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{1+\cos\ frac{1}{n}}{\sin \frac{1}{n}}$ in cui praticamente $\frac{1+\cos\ frac{1}{n}}{\sin \frac{1}{n}}$ diverge, diremo che la serie non converge o addirittura che diverge?

[gugo82]

La serie certamente non converge (non è soddisfatta la condizione necessaria).

Però stabilire se essa diverga o meno la vedo un po' più laboriosa come cosa.

[f0rbid]

ma secondo leibniz, se non si soddisfa la condizione necessaria e la serie è crescente, non si può affermare con certezza che sia oscillante e divergente?

[gugo82]

Che significa "oscillante e divergente"?

Per me "oscillante" significa che la successione delle somme parziali non è regolare, mentre "divergente" significa che la successione delle somme parziali è o positivamente o negativamente divergente; quindi per me "oscillante" e "divergente" sono due eventualità mutuamente esclusive.

[Mathcrazy]

Penso che f0rbid abbia,impropriamente, usato il termine oscillante per dire indeterminata.
In tal caso, sappi che l'indeterminatezza e divergenza di una serie, sono due concetti diversi.
Comunque no, non puoi trarre questo genere di conclusioni con Leibniz.

[f0rbid]

Ho sbagliato io ad interpretare il libro di testo del mio professore:
Dice (testuali parole) che in una serie armonica di segno alterno se essa è crescente si può affermare che la serie è oscillante e infinitamente grande.

[gugo82]

[OT]

Per essere parole testuali sono ben strane... Che libro è?

[/OT]

[Mathcrazy]

Do' un' "interpretazione", ma quoto gugo sul fatto che la terminologia è piuttosto inconsueta.
infinitamente grande = divergente.
oscillante = indeterminata
Riguardo la "serie crescente", suppongo si riferisca al termine generale della serie.

Tu cosa pensi gugo?

[f0rbid]

E' il libro del mio professore, io studio a Catania, comuqnue scusate per aver creato questo OT, meglio smettere

[Mathcrazy]

Non credo che stiamo andando Off-Topic: alla fine è collegato sempre alla richiesta iniziale..
Il significato di quella frase potrebbe essere questo; (in base alla mia interpretazione):

Se il termine generale di una serie numerica a segni alterni è crescente allora si può affermare che essa è indeterminata e divergente.

Ma se così fosse, sarebbe un'affermazione errata.

Mi sono informato e ho scoperto che, effettivamente,il termine "oscillante" molto spesso viene usato per indicare la indeterminatezza di una serie, infatti ricordavo così..
Infinitamente grande credo sia proprio riferito a divergenza.
In tal caso dire:
"oscillante e infinitamente grande" = indeterminata e divergente
non ha senso.
La serie o è indeterminata o è divergente!
Sicuramente l'interpretazione non è quella, chiedi meglio al tuo prof. e facci sapere!

[Gmork]

Quindi per quello che il criterio di L. ci può dire ne traggo solo che la serie non è convergente, giusto?

[gugo82]

Facendo un po' di conti si dimostra quanto segue:

Se [tex]$\sum (-1)^n a_n$[/tex] è una serie a segni alterni tale che:

1) [tex]$a_n\geq 0$[/tex];

2) [tex]$a_{n+1}\geq a_n$[/tex];

allora la serie è indeterminata e per la successione delle somme parziali di [tex]$\sum (-1)^n a_n$[/tex], ossia per la successione di termine generale [tex]$s_N:=\sum_{n=0}^N (-1)^n a_n$[/tex], sono possibili tutte le seguenti eventualità:

a) la successione è limitata;

b) la successione è limitata inferiormente ma non superiormente;

c) la successione è limitata superiormente ma non inferiormente;

d) la successione non è limitata né inferiormente né superiormente.

Se qualcuno si vuole cimentare...

[gugo82]

Propongo una possibile soluzione:

L'esercizio chiede di determinare [tex]$(a_n)$[/tex] che goda delle 1 e 2 in modo da soddisfare, di volta in volta, una tra le richieste a-d.

a) Se si prende [tex]$a_n:=1$[/tex] si ha [tex]$s_N=\max \{ 0, (-1)^N\} =\frac{1+(-1)^N}{2}$[/tex], sicché [tex]$(s_N)$[/tex] è limitata.

b) L'idea è quella di prendere come [tex]$(a_n)$[/tex] una successione in cui i termini dispari siano poco più grandi di quelli pari, ed i termini pari costringano la successione [tex]$(s_N)$[/tex] a non essere limitata superiormente.
Si fissino due successioni [tex]$(\alpha_h),(\beta_h)$[/tex] con le proprietà seguenti:

i. [tex]$\alpha_0\geq 0$[/tex] e [tex]$\exists \alpha >0:\ \forall h\in \mathbb{N},\ \alpha_{h+1}-\alpha_h \geq \alpha$[/tex]*,

ii. [tex]$\forall h\in \mathbb{N},\ 0\leq \beta_h <\alpha$[/tex] e [tex]$\sum_{h=0}^{+\infty} \beta_h <+\infty$[/tex];

ad esempio, due successioni soddisfacenti le i-ii sono [tex]$\alpha_h=h$[/tex] e [tex]$\beta_h=\frac{1}{2^{h+1}}$[/tex].
Posto:

[tex]$a_n:=\begin{cases} \alpha_h &\text{, se $n=2h$} \\ \alpha_h+\beta_h &\text{, se $n=2h+1$}\end{cases}$[/tex]

la successione [tex]$(a_n)$[/tex] è evidentemente crescente e positiva; per quanto concerne le somme parziali [tex]$s_N$[/tex], si ha:

[tex]$s_0:=a_0=\alpha_0$[/tex]
[tex]$s_1:=s_0-a_1=\alpha_0-(\alpha_0+\beta_0)=-\beta_0$[/tex]
[tex]$s_2:=s_1+a_2=-\beta_0+\alpha_1$[/tex]
[tex]$s_3:=s_2-a_3=-\beta_0+\alpha_1-(\alpha_1+\beta_1)=-(\beta_0+\beta_1)$[/tex]
[tex]$s_4:=s_3+a_4=-(\beta_0+\beta_1)+\alpha_2$[/tex]
[tex]$s_5:=s_4-a_5=-(\beta_0+\beta_1+\beta_2)$[/tex]

ed, in generale:

[tex]$s_N:=\begin{cases} \alpha_H-\sum_{h=0}^{H-1} \beta_h &\text{, se $N=2H$} \\ -\sum_{h=0}^H \beta_h &\text{, se $N=2H+1$}\end{cases}$[/tex] (per [tex]$H=0$[/tex] si è usata la convenzione [tex]$\sum_{h=0}^{-1}\beta_h :=0$[/tex]).

Ne consegue che la successione [tex]$(s_N)$[/tex] è limitata dal basso: invero la successione estratta da [tex]$(s_N)$[/tex] d'indici dispari è limitata (poiché la serie [tex]$-\sum \beta_h$[/tex] è convergente); d'altra parte, la successione estratta d'indici pari è strettamente crescente, giacché:

[tex]$s_{2(H+1)}-s_{2H} =\alpha_{H+1}-\alpha_H -\beta_H\geq \alpha -\beta_H>0$[/tex],

e perciò è limitata dal basso da [tex]$s_0=\alpha_0$[/tex].
Inoltre, essendo [tex]$\alpha_h\to +\infty$[/tex], si ha:

[tex]$\limsup_H s_{2H} =\limsup_H \alpha_h -\liminf_H \sum_{h=0}^H \beta_h=+\infty -\sum_{h=0}^{+\infty} \beta_h=+\infty$[/tex],

ed [tex]$(s_N)$[/tex] non è limitata superiormente.

c) Si ragiona in maniera analoga al caso precedente, facendo però in modo che i termini dispari portino [tex]$(s_N)$[/tex] verso [tex]$-\infty$[/tex].

d) Basta scegliere [tex]$a_n:=n$[/tex] per ottenere [tex]$s_N:=(-1)^N\left[ \frac{N+1}{2}\right]$[/tex] (qui [tex]$[\cdot ]$[/tex] denota la parte intera) e si vede che [tex]$(s_N)$[/tex] non è limitata né superiormente né inferiormente.
__________
* La seconda delle ipotesi garantisce che [tex]$(\alpha_h)$[/tex] è crescente; inoltre, non essendo rispettato il Criterio di convergenza di Cauchy ed essendo [tex]$(\alpha_h)$[/tex] regolare (poiché monotona), si ha evidentemente [tex]$\alpha_h\to +\infty$[/tex].