Serie con fattoriale

[mircosam]

salve, devo studiare il carattere di questa serie: $ sum_{k=1}^(+oo) ((2^(2n) (n!)^2)/(2n!)) $
Non ho mai trovato serie con il fattoriale quindi qualcuno può aiutarmi?? grazie

[Noisemaker]

essendo difronte ad una serie a termini positivi, visto il particolare aspetto del termine generale, puoi applicare il criterio del rapporto, cioè:

\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{2n} (n!)^2}{2n!}\stackrel{Ratiio}{\Rightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{2^{2n+2} \left[(n+1)!\right]^2}{2(n+1)!}\cdot \frac{2n!}{2^{2n} (n!)^2}

\end{align}

[mircosam]

io sono arrivato alla seguente forma:
$ ((2^(2n+2) [(n+1)(n!)]^2)/(2n!+2!))* ((2n!)/(2^(2n)(n!)^2))$
puoi aiutarmi a semplificare qualcosa?? grazie

[mircosam]

mi esce $+ 00$ quindi la serie converge o diverge??

[Noisemaker]

il punto in cui sei arrivato non è corretto; in realtà si ha:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{2n} (n!)^2}{2n!}\stackrel{Ratiio}{\Rightarrow}&\lim_{n\to+\infty}\frac{2^{2n+2} \left[(n+1)!\right]^2}{2(n+1)!}\cdot \frac{2n!}{2^{2n} (n!)^2}\\
& =\lim_{n\to+\infty}\frac{2^{2n } \cdot2^2\left[n!(n+1)\right]^2}{2(n+1) 2n!}\cdot \frac{2n!}{2^{2n} (n!)^2}\\
& =\lim_{n\to+\infty}\frac{2^{2n } \cdot2^2\cdot\left(n!\right)^2\cdot(n+1)^2}{2(n+1) 2n!}\cdot \frac{2n!}{2^{2n} (n!)^2}\\
& =\lim_{n\to+\infty} 2 (n+1)^2 =+\infty,
\end{align}
quindi la serie non converge, grazie al criterio del rapporto.

[gugo82]

@ mircosam: Avresti potuto anche utilizzare la formula di Stirling ed il confronto asintotico.

Difatti, ricordata la formula:
\[
n! \approx C\ n^{n+\frac{1}{2}}\ e^{-n}
\]
(con \(C>0\) buona), hai:
\[
\begin{split}
\frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n)!} &\approx \frac{2^{2n}\ C^2\ n^{2n+1}\ e^{-2n}}{C\ (2n)^{2n+\frac{1}{2}}\ e^{-2n}}\\
&=C\ \frac{2^{2n}\ n^{2n}\ n}{(2n)^{2n}\ \sqrt{2n}}\\
&= \frac{C}{\sqrt{2}}\ \frac{2^{2n}\ n^{2n}}{2^{2n}\ n^{2n}}\ \sqrt{n}\\
&= \frac{C}{\sqrt{2}}\ \sqrt{n}
\end{split}
\]
quindi il termine generale non è infinitesimo e perciò la serie diverge positivamente.