Serie con denominatore quadratico
Buongiorno analisti! 
Vi chiedo, c'è un metodo generale per calcolare
[tex]\sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{P(n)}[/tex]
dove [tex]P(n)[/tex] è un polinomio (diciamo pure monico) di grado due? (Dove la scelta di [tex]n_0[/tex] assicuri che sia [tex]P(n) \neq 0[/tex] per ogni [tex]n \geq n_0[/tex]). Per motivi conosciuti, questa serie converge. Poi ci sono casi famosi come [tex]P(n)=n^2[/tex] (problema di Basilea, in inglese Basel problem), e casi trattabili come [tex]P(n) = n^2-1 = (n-1)(n+1)[/tex]. In questo caso infatti si ha [tex]\frac{1}{n^2-1} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1} )[/tex] per cui è una serie (diciamo pure) telescopica (e ho il sospetto che se [tex]P(n)[/tex] è riducibile ci si possa più o meno sempre ridurre al caso telescopico). Ma come vi comportereste nel caso irriducibile, per esempio [tex]P(n)=n^2+1[/tex]?
Ho il sospetto che si possa rispondere qualunque sia [tex]P(n)[/tex].
Vi chiedo, c'è un metodo generale per calcolare
[tex]\sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{P(n)}[/tex]
dove [tex]P(n)[/tex] è un polinomio (diciamo pure monico) di grado due? (Dove la scelta di [tex]n_0[/tex] assicuri che sia [tex]P(n) \neq 0[/tex] per ogni [tex]n \geq n_0[/tex]). Per motivi conosciuti, questa serie converge. Poi ci sono casi famosi come [tex]P(n)=n^2[/tex] (problema di Basilea, in inglese Basel problem), e casi trattabili come [tex]P(n) = n^2-1 = (n-1)(n+1)[/tex]. In questo caso infatti si ha [tex]\frac{1}{n^2-1} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1} )[/tex] per cui è una serie (diciamo pure) telescopica (e ho il sospetto che se [tex]P(n)[/tex] è riducibile ci si possa più o meno sempre ridurre al caso telescopico). Ma come vi comportereste nel caso irriducibile, per esempio [tex]P(n)=n^2+1[/tex]?
Ho il sospetto che si possa rispondere qualunque sia [tex]P(n)[/tex].
Risposte
Non lo so. Ma se avessi più tempo, cercherei di applicare la proposizione 3.1 di questo pdf:
https://people.math.gatech.edu/~cain/wi ... lement.pdf
(pagina 13)
https://people.math.gatech.edu/~cain/wi ... lement.pdf
(pagina 13)
Hai ragione grazie Giuseppe! Funziona (cioè devo controllare i dettagli ma ci metterei la mano sul fuoco).
(cioè devo controllare i dettagli ma ci metterei la mano sul fuoco).
Ma io non ho fatto niente! 
Era solo un tentativo a occhi chiusi, un colpo di fortuna. Sono contento se ti può essere d'aiuto.
Ti sei dato parecchio all'analisi ultimamente!
P.S.: Ho apprezzato le tue dispense di rappresentazione di gruppi. Quello è un argomento che potrebbe servirmi in futuro.
Era solo un tentativo a occhi chiusi, un colpo di fortuna. Sono contento se ti può essere d'aiuto. Ti sei dato parecchio all'analisi ultimamente!
P.S.: Ho apprezzato le tue dispense di rappresentazione di gruppi. Quello è un argomento che potrebbe servirmi in futuro.
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