Serie con criterio della radice

[Filli1]

Buongiorno a tutti!
Esercitandomi in alcune serie con parametro mi è capitato più volte di notare che utilizzando il criterio della radice venga inserito un modulo, come in questo esercizio:

$ sum(log(a)-(1/2))^n $ con $ a>0 $

io l'avei risolto così

$ 0<=loga-(1/2)<1 $

ma in realtà la risoluzione corretta è questa

$ abs(loga-(1/2))<1 $

Come mai?

[Noisemaker]

perchè è una serie geometrica di ragione $x=\ln a-1/2,$ che come sai converge solo se $|x|<1.$

[Filli1]

Sì, questo mi è chiaro.
Quello che non mi è chiaro è perché utilizzando il criterio della radice il risultato sia diverso da quello ottenuto risolvendolo con la serie geometrica.

[Noisemaker]

Il criterio della radice lo puoi applicare solo se la serie è a termini positivi, e poichè il termine generale non è a termini positivi, visto che $a$ può assumere quasiasi valore nell'intervallo $(0;\sqrt e]$ (dove la quantità $\ln a-1/2<0$), per poter applicare il criterio devi prendere il modulo del termine generale.

[Filli1]

Giusto, mi era dimenticato che doveva essere a termini positivi! Grazie