Serie con criterio asintotico.
Devo studiare il carattere della serie $ sum_(n = 0)^(+oo )[arctg(n)]/[n^(2) +1] $
Io l'ho risolta in nel modo che vi scrivo qua sotto. Potete dirmi se è una soluzione giusta?
Uso il criterio asintotico e sostituisco $ arctg(n) $ con $ n $ in quanto sono dello stesso ordine ed ottengo $ sum_(n = 0)^(+oo)[n]/[(n)^(2) +1] $ . Non sono sicuro se si puo fare ma non saprei cos'altro fare con l'arctg.
Poi si verifica facilmente che $ [ n]/[n^(2)+1] $ è asintotico $ [n]/[n^(2)] $ Che semplificato è $ 1/n $ . La serie $ sum 1/n $ è armonica generalizzata con esponente uguale a uno e quindi diverge.
Quindi per il criterio asintotico anche la serie iniziale diverge.
é giusto il ragionamento?
Io l'ho risolta in nel modo che vi scrivo qua sotto. Potete dirmi se è una soluzione giusta?
Uso il criterio asintotico e sostituisco $ arctg(n) $ con $ n $ in quanto sono dello stesso ordine ed ottengo $ sum_(n = 0)^(+oo)[n]/[(n)^(2) +1] $ . Non sono sicuro se si puo fare ma non saprei cos'altro fare con l'arctg.
Poi si verifica facilmente che $ [ n]/[n^(2)+1] $ è asintotico $ [n]/[n^(2)] $ Che semplificato è $ 1/n $ . La serie $ sum 1/n $ è armonica generalizzata con esponente uguale a uno e quindi diverge.
Quindi per il criterio asintotico anche la serie iniziale diverge.
é giusto il ragionamento?
Risposte
"Stevie":
[...]é giusto il ragionamento?
Quasi.
O meglio no
Le equivalenze asintotiche vanno usate con criterio:
$arctan(n) ~= n$ per $n->0$
Ma dato che il tuo $n -> +oo$, allora $lim_n arctan(n) -> \pi/2$.
Per il denominatore invece hai fatto bene.
Sapresti continuare? A questo punto è davvero molto facile
P.S.: considera che $arctan(n) < \pi/2 AA n in NN$
Non ho capito con cosa sostituire $ arctg(n) $ .
"Stevie":
Non ho capito con cosa sostituire $ arctg(n) $ .
Ma devi farlo per forza col confronto asintotico?
Non perché se consideri come ti ho detto che $arctg(n) < \pi/2 AA n in NN$, è molto più facile farlo con il confronto... capito come?
OK ora ho capito.
Quindi dovrebbe essere che : $ [arctg(n)]/[n^(2) +1] < [ pi/2]/[n^(2) +1] < [ pi/2]/[n^(2)] $
Quindi essendo una serie armonica generalizzata con esponente 2 converge e converge anche la serie di partenza per il criterio del confronto.
è giusto?
Quindi dovrebbe essere che : $ [arctg(n)]/[n^(2) +1] < [ pi/2]/[n^(2) +1] < [ pi/2]/[n^(2)] $
Quindi essendo una serie armonica generalizzata con esponente 2 converge e converge anche la serie di partenza per il criterio del confronto.
è giusto?
"Stevie":
OK ora ho capito.
Quindi dovrebbe essere che : $ [arctg(n)]/[n^(2) +1] < [ pi/2]/[n^(2) +1] < [ pi/2]/[n^(2)] $
Quindi essendo una serie armonica generalizzata con esponente 2 converge e converge anche la serie di partenza per il criterio del confronto.
è giusto?
Occhio che $1/n^2 > 1/(n^2+1)$.
Io farei $arctan(n)/(n^2+1) ~= arctan(n)/n^2 <= \pi/(2n^2)$.
Sì, la serie è convergente
Si ma infatti ho scritto $ [pi/2]/[n^(2)+1]< [pi/2]/[n^(2)] $ . Non è giusto?
Comunque grazie mille per l'aiuto!
Comunque grazie mille per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo