Serie complesse - dubbi
Ciao, ho problemi con queste serie complesse:
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1
$\sum_{n=1}^infty (z-3i)^(-n)$
(serie dei moduli) $\sum_{n=1}^infty 1/(|z-3i|^n)$
Applicando il criterio della radice, mi risulta che la serie NON converge in tutto il campo complesso, converge assolutamente (e semplicemente) SOLO sui punti di frontiera della circonferenza di raggio 1 e centro $3i$ (questo perchè ponendo > o < di 1 viene 1<1 e 1>1 al numeratore).E' corretto?
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2
$\sum_{n=1}^infty (1)/(3+(-1)^n) <=> \sum_{n=1}^infty (1)/(3+i^(2n))$
Questa serie converge o diverge?
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3
$\sum_{n=1}^infty n^(sqrt(n))*z^n$
Non converge ass. e nemmeno semplicemente, diverge in tutto C giusto ?
grazie a chi mi risponderà
saluti
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1
$\sum_{n=1}^infty (z-3i)^(-n)$
(serie dei moduli) $\sum_{n=1}^infty 1/(|z-3i|^n)$
Applicando il criterio della radice, mi risulta che la serie NON converge in tutto il campo complesso, converge assolutamente (e semplicemente) SOLO sui punti di frontiera della circonferenza di raggio 1 e centro $3i$ (questo perchè ponendo > o < di 1 viene 1<1 e 1>1 al numeratore).E' corretto?
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2
$\sum_{n=1}^infty (1)/(3+(-1)^n) <=> \sum_{n=1}^infty (1)/(3+i^(2n))$
Questa serie converge o diverge?
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3
$\sum_{n=1}^infty n^(sqrt(n))*z^n$
Non converge ass. e nemmeno semplicemente, diverge in tutto C giusto ?
grazie a chi mi risponderà
saluti
Risposte
proprio nessuno?
La prima non mi sembra giusta. Posto:
$ \sigma = ( z - 3i )^(-1) $
La serie diventa:
$ \sum_{n=1}^\infty \sigma^n $
Che converge per tutti i valori di $\sigma$ per cui:
$ | \sigma | < 1 $
Da cui si ha che la serie di partenza converge fuori dal cerchio unitario centrato in $3i$ bordo escluso:
$ z : | z - 3i | > 1 $
$ \sigma = ( z - 3i )^(-1) $
La serie diventa:
$ \sum_{n=1}^\infty \sigma^n $
Che converge per tutti i valori di $\sigma$ per cui:
$ | \sigma | < 1 $
Da cui si ha che la serie di partenza converge fuori dal cerchio unitario centrato in $3i$ bordo escluso:
$ z : | z - 3i | > 1 $
La seconda diverge perche' il termine:
$ 1/(3+(-1)^n) $
Non e' infinitesimo.
Infatti:
$ 1/4 \leq 1/(3+(-1)^n) \leq 1/2 \qquad \forall n$
$ 1/(3+(-1)^n) $
Non e' infinitesimo.
Infatti:
$ 1/4 \leq 1/(3+(-1)^n) \leq 1/2 \qquad \forall n$
L'ultima mi sembra giusta: dovrebbe divergere in tutto $CC \\ {0}$.
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