Serie che converge o diverge?
Salve a tutti, io ho la serie:
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n*(2+n)/(1+n+n^2)$
e devo stabilire se converge o diverge. Innanzitutto tralascio il $(-1)^n$ perché ai fini della convergenza o divergenza è ininfluente. Poi sfrutto il criterio del confronto asintotico che mi dice che se due successioni definitivamente positive sono equivalenti per $x$ che tende a $oo$ il loro comportamento sarà il medesimo sempre per $x$ che tende a $oo$.
Posso dire che:
$(2+n)/(1+n+n^2)\sim1/n$ per $x$ che tende a $oo$
e sapendo che la serie armonica generalizzata diverge se il valore dell'esponente è $1$ potrei affermare che la serie diverge. Tuttavia il testo afferma che la serie converge, dove sbaglio?
Grazie
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n*(2+n)/(1+n+n^2)$
e devo stabilire se converge o diverge. Innanzitutto tralascio il $(-1)^n$ perché ai fini della convergenza o divergenza è ininfluente. Poi sfrutto il criterio del confronto asintotico che mi dice che se due successioni definitivamente positive sono equivalenti per $x$ che tende a $oo$ il loro comportamento sarà il medesimo sempre per $x$ che tende a $oo$.
Posso dire che:
$(2+n)/(1+n+n^2)\sim1/n$ per $x$ che tende a $oo$
e sapendo che la serie armonica generalizzata diverge se il valore dell'esponente è $1$ potrei affermare che la serie diverge. Tuttavia il testo afferma che la serie converge, dove sbaglio?
Grazie
Risposte
"Fili92":
Innanzitutto tralascio il $(-1)^n$ perché ai fini della convergenza o divergenza è ininfluente.
Io non ne sono così sicuro. Per la convergenza assoluta non conta, ma non è così per la convergenza semplice. La serie è a segni alterni e quindi dovresti applicare il criterio di Leibniz.
Probabilmente sbagli per il fatto che stai valutando la convergenza assoluta tralasciando \(\displaystyle (-1)^{n} \)
E la divergenza assoluta non implica la divergenza semplice.
Puoi però usare il criterio di Leibniz e il confronto asintotico per la seguente serie.
Come tu hai detto, la serie ha lo stesso carattere della serie armonica MA presa con il segno alterno, quindi ha lo stesso carattere di:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n} \)
Il criterio di Leibniz dice che se il termine della successione è infinitesimo (per n->infinito) e monotono allora la serie converge.
La successione \(\displaystyle \frac{1}{n} \) è chiaramente monotona e per \(\displaystyle n\to \infty \) la successione tende a 0, quindi la serie converge SEMPLICEMENTE.
E la divergenza assoluta non implica la divergenza semplice.
Puoi però usare il criterio di Leibniz e il confronto asintotico per la seguente serie.
Come tu hai detto, la serie ha lo stesso carattere della serie armonica MA presa con il segno alterno, quindi ha lo stesso carattere di:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n} \)
Il criterio di Leibniz dice che se il termine della successione è infinitesimo (per n->infinito) e monotono allora la serie converge.
La successione \(\displaystyle \frac{1}{n} \) è chiaramente monotona e per \(\displaystyle n\to \infty \) la successione tende a 0, quindi la serie converge SEMPLICEMENTE.
Grazie mille mi è chiaro il vostro ragionamento. Ultima domanda, se non ci fosse stato quel $(-1)^n$ la serie sarebbe stata divergente?
Si perchè ha lo stesso carattere della serie armonica (quindi divergente). Ma non essendoci il termine che "cambia segno" sarebbe stata divergente anche assolutamente.
Perfetto, grazie mille per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo