Serie, calcolo della somma

[rccc_8]

$ sum_{n=2}^{oo}(x^(3n)-x^(2n)) $

come si calcola la somma? ( è come $ x^n $ e quindi la somma $ s_n=1 $)
il raggio di convergenza è quindi 1 ?!
la derivata VI nell'origine (x=0) è nulla ?!

[cozzataddeo]

"rccc_8":$ sum_{n=2}^{oo}(x^(3n)-x^(2n)) $

come si calcola la somma? ( è come $ x^n $ e quindi la somma $ s_n=1 $)
il raggio di convergenza è quindi 1 ?!
la derivata VI nell'origine (x=0) è nulla ?!

Per la somma credo che convenga spezzare la serie in due parti ed utilizzare poi la somma della serie geometrica

$ sum_{n=2}^{oo}(x^(3n)-x^(2n)) = sum_{n=2}^{oo}x^(3n)-sum_{n=2}^{oo}x^(2n) = sum_{n=0}^{oo}(x^3)^n - 1 - x^3 -sum_{n=0}^{oo}(x^2)^n + 1 + x^2 = 1/(1-x^3)-1-x^3 - 1/(1-x^2)+1+x^2=x^2-x^3+1/(1-x^3)-1/(1-x^2)$

Le due serie convergono se si ha

$|x^3|<1$ e $|x^2|<1$ e quindi $-1
perciò il raggio di convergenza è 1.
Trattandosi di serie di potenze si può utilizzare il teorema di derivazione per serie e quindi si ha
1) derivata I: $$ sum_{n=3}^{oo}(3n*x^(3n-1)-2n*x^(2n-1))$
2) derivata II: $$ sum_{n=4}^{oo}(3n(3n-1)*x^(3n-2)-2n(2n-1)*x^(2n-2))$
...
dove gli esponenti sono sempre strettamente positivi. Quindi la derivata VI nell'origine dovrebbe essere 0 (di quest'ultima parte non sono del tutto sicuro... ).