Serie armoniche

[galles90]

Buongiorno,
sto leggendo l'argomento inerente alla serie armoniche. Sulle dispense del mio professore, viene citata la seguesente osservazione, la quale non mi risulta chiara, ossia:
Osservazione
Per le serie armoniche divergenti ha interesse studiare l'ordine di infinito della successione delle somme parziali.
Qualcuno che mi potrebbe dare qualche dritta

P.s. se potrebbe tornare utile, allego la dispensa, pag. 135, ultime due righe
https://www.docenti.unina.it/webdocenti-be/allegati/materiale-didattico/34075453

Ciao.

[pilloeffe]

Ciao galles90,

Mah, onestamente tutto questo interesse non ce lo vedo (ma prendila con beneficio d'inventario: sai che per noi ingegneri se le serie non sono convergenti... ), comunque continua a leggere.
Ci dev'essere anche un errore, perché ha svolto tutto il ragionamento per $\alpha < 1 $ poi improvvisamente a pagina 137 diventa $\alpha > 1 $

[gabriella127]

Non vorrei dire una sciocchezza, ma penso che serva per vedere quanto velocemente diverge una serie armonica.
La serie armonica $ sum(1/n) $ diverge mooolto lentamente (se si guardano delle rappresentazioni grafiche delle successioni delle somme parziali si vede che diventa piuttosto piatta).

Mi ricordo un professore al dipartimento di matematica alla Sapienza che diceva 'La serie armonica converge!'.
Lo diceva come una battutta, ma intendeva dire che diverge talmente lentamente che per alcuni scopi è come se convergesse. E' charo che dal punto di vista matematico è una serie divergente e come tale va trattata, ma intendeva dire che ad esempio in analisi numerica può essere trattata come convergente.

[dissonance]

"gabriella127": 'La serie armonica converge!'.

Un professore di fisica diceva: "il logaritmo è una costante che tende a infinito". E' esattamente la stessa battuta, visto che le somme parziali della serie armonica divergono logaritmicamente, come dimostrato sulle dispense che dice galles.

[galles90]

Ciao pilloeffe

ho trovato in rete una dispensa la quale mi risulta più chiara, eccola
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG/PSPDF/eulero-masch.pdf

Ora ti chiedo un pò di pazienza suddivido le domanda cosi non creo ulteriori confusioni.

1) Presumo che il senso di considerare gli ordini di infinito della ridotta n-esima è quello di avere una stima della costante di Eulero-Mascheroni, $gamma$, in quanto, l'ordine di infinito della ridotta n-esima è pari all'ordine di grandezza di $ln(n)$, cosi ?

2) La seconda relazione (2) è vera perchè:

$lim_(x to x_0 )f(x)=l\ qquad mbox{equivale a}\ qquad f(x)=l+o(1) \ qquad (x to x_0) $

Ciao

[dissonance]

@galles: tu secondo me faresti meglio a usare di meno Internet e di più i libri. Queste dispense e dispensine lasciano il tempo che trovano. Lo stesso dicasi di questo forum.

La matematica, specialmente a livello di base, si studia sui libri.

[galles90]

"dissonance":@galles: tu secondo me faresti meglio a usare di meno Internet e di più i libri. Queste dispense e dispensine lasciano il tempo che trovano. Lo stesso dicasi di questo forum.

La matematica, specialmente a livello di base, si studia sui libri.

Hai ragione dissonance, ma studiando da solo " nel senso che non ho seguiti i corsi" mi viene più facile comprendere gli argomenti quando prendo spunto da diversi autori.

Comunque come libro uso : Analisi 1 ed. 2015 di Pagani-Salsa, dove la dimostrazione di tale argomento, è molto simile a quella riportata nella seconda dispensa, ossia è diversa da quella del mio professore.

Ciao

[galles90]

Buongiorno,
ho letto la dispensa del mio professore, ci sono alcuni punti che non mi sono chiari.
Suddivido la dimostrazione riportata sulla dispensa del mio professore per parti, ad ogni punto do una conclusione, cosicchè se toppo mi fermate.

Prima parte

Sia quindi

$ 7.11 \ qquad 1/(n+1) questa ci serve per dimostrare che le seguenti due successioni $a_n, \ b_n$ sono rispettivamente crescenti e decrescenti .
Sia quindi la somma parziale $S_n$ della serie armonica, inoltre

$a_n=S_n-log(n+1)$ e $b_n=S_(n+1)-log(n+1)$

La reazione $a_n crescenti e decrescenti, per via della $7.11$ e quindi abbiamo

$forall n in NN \ qquad a_1

Seconda parte

La prima ci da la possibilità di dire che: le due successioni sono monotone e limitate, per cui per il teorema sulle successioni monotone, il limite esiste ed è finito, ed è chiaro che hanno lo stesso limite, essendo che

$lim_(n to infty)S_n=lim_(n to infty)S_(n+1)$

Quindi tale limite "dovrebbe essere proprio la costatnte di Eulero-Mascheroni"

Ditemi se fino a qui, ci sono ragionamenti sbagliati, o, se è tutto sbagliato.


Ciao

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