Serie armonica, facile facile
Determinare per quali valori dei parametri reali \(\displaystyle \alpha, \beta \) converge la serie
\(\displaystyle \sum_{n}n^\alpha (\ln n)^\beta \)
Io ho fatto così: riscrivo la serie come \(\displaystyle \sum_{n}\frac{(\ln n)^\beta}{n^{-\alpha}} \)
E questa serie è asintoticamente equivalente a \(\displaystyle \sum_{n}\frac{1}{n^{-\alpha}}\)
Così ci siamo ricondotti al caso di una serie armonica generalizzata. Perchè essa converga deve essere \(\displaystyle -\alpha>1 \rightarrow \alpha<-1\).
Che ve ne pare? Ci sono errori?
\(\displaystyle \sum_{n}n^\alpha (\ln n)^\beta \)
Io ho fatto così: riscrivo la serie come \(\displaystyle \sum_{n}\frac{(\ln n)^\beta}{n^{-\alpha}} \)
E questa serie è asintoticamente equivalente a \(\displaystyle \sum_{n}\frac{1}{n^{-\alpha}}\)
Così ci siamo ricondotti al caso di una serie armonica generalizzata. Perchè essa converga deve essere \(\displaystyle -\alpha>1 \rightarrow \alpha<-1\).
Che ve ne pare? Ci sono errori?
Risposte
\( \displaystyle \sum_{n}\frac{1}{n^{-\alpha}} \)
Il logaritmo scompare secondo quale criterio?
Il logaritmo scompare secondo quale criterio?
Ciao sphyr,
Si tratta di una serie armonica generalizzata di tipo II: dai un'occhiata ad esempio qui.
Si tratta di una serie armonica generalizzata di tipo II: dai un'occhiata ad esempio qui.
"Salvy":
\( \displaystyle \sum_{n}\frac{1}{n^{-\alpha}} \)
Il logaritmo scompare secondo quale criterio?
Confronto asintotico (evidentemente applicato male...). Ma sono sicuro che sia \(\displaystyle n^{\alpha}>>\log(n) \forall\alpha\neq0 \)
Cosa mi sfugge?
"sphyr":
[quote="Salvy"]\( \displaystyle \sum_{n}\frac{1}{n^{-\alpha}} \)
Il logaritmo scompare secondo quale criterio?
Confronto asintotico (evidentemente applicato male...). Ma sono sicuro che sia \(\displaystyle n^{\alpha}>>\log(n) \forall\alpha\neq0 \)
Cosa mi sfugge?[/quote]
Quando 2 funzioni sono asintoticamente equivalenti?Tu sostanzialmente stai dicendo che la presenza del logaritmo non influisce sull'andamento della serie, ma è proprio cosi'?Controlla il link che ti hanno suggerito...
P.s. per caso usi il Bramanti come libro di esercitazione?hai scritto una cosa che mi fa pensare a lui...
"sphyr":
Ma sono sicuro che sia \(\displaystyle n^{\alpha}>>\log(n) \forall\alpha\neq0 \)
Cosa mi sfugge?
Non credo, se $\alpha<0$? Hai che per $n\to+\infty$ il membro di destra tende a $+\infty$ e il membro di sinistra tende a $0$.
"Salvy":
[quote="sphyr"][quote="Salvy"]\( \displaystyle \sum_{n}\frac{1}{n^{-\alpha}} \)
Il logaritmo scompare secondo quale criterio?
Confronto asintotico (evidentemente applicato male...). Ma sono sicuro che sia \(\displaystyle n^{\alpha}>>\log(n) \forall\alpha\neq0 \)
Cosa mi sfugge?[/quote]
Quando 2 funzioni sono asintoticamente equivalenti?Tu sostanzialmente stai dicendo che la presenza del logaritmo non influisce sull'andamento della serie, ma è proprio cosi'?Controlla il link che ti hanno suggerito...
P.s. per caso usi il Bramanti come libro di esercitazione?hai scritto una cosa che mi fa pensare a lui...[/quote]
Ho dato uno sguardo al link, (a proposito: grazie mille pilloeffe!) e la dimostrazione mi convince. Ma Non capisco cosa ci sia di diverso rispetto a qualsiasi altro confronto asintotico lecito.
P.S. Uso il Giusti come eserciziario e studio dalle magnifiche dispense del Paolini.
Non dubito della correttezza del criterio di condensazione eh! Vorrei solo delle guidelines su come usare il confronto asintotico...
"sphyr":
Non dubito della correttezza del criterio di condensazione eh! Vorrei solo delle guidelines su come usare il confronto asintotico...
$x^3+x~?$ $x->+oo$ continua...
"Salvy":
[quote="sphyr"]Non dubito della correttezza del criterio di condensazione eh! Vorrei solo delle guidelines su come usare il confronto asintotico...
$x^3+x~?$continua...[/quote]
\(\displaystyle x^3+x\sim x^3 \)? :/
\(\displaystyle x^3+x\sim x^3 \)? :/[/quote]
Esatto.Quindi?dove sta l'errore? hai applicato questo "criterio" alla serie di partenza ... ma non ti ritrovi nella stesse condizioni , non hai una somma di infiniti , non puoi concludere in ugual modo.Il logaritmo che trovi nella serie, è di fondamentale importanza per dedurre la convergenza/divergenza di quest'ultima.Non puoi farlo scomparire...
Esatto.Quindi?dove sta l'errore? hai applicato questo "criterio" alla serie di partenza ... ma non ti ritrovi nella stesse condizioni , non hai una somma di infiniti , non puoi concludere in ugual modo.Il logaritmo che trovi nella serie, è di fondamentale importanza per dedurre la convergenza/divergenza di quest'ultima.Non puoi farlo scomparire...
Oh ok... Credo di avere capito. è una tecnica che posso applicare solo a somme di infiniti secondo la relazione di infinito/infinitesimo che intercorre. Grazie mille a tutti per la pazienza!
"sphyr":
Vorrei solo delle guidelines su come usare il confronto asintotico...
Basta non usarlo ad mentula canis…
Al mio paese, le successioni $(log^beta n)/(n^(-alpha))$ ed $1/n^(-alpha)$ non sono asintoticamente equivalenti (a meno che non sia $beta = 0$).
"gugo82":
[quote="sphyr"]Vorrei solo delle guidelines su come usare il confronto asintotico...
Basta non usarlo ad mentula canis…
[/quote]
Oh guarda, mettiti nei miei panni: uno fa di tutto per non usare criteri esotici come condensazione e radice, e quindi prima passa per confronto e rapporto!
Poi, acquisendo un repertorio di "questo-converge-e-codesto-no" si va più spediti. Comunque ho capito l'errore e, se mai vorrò usare il criterio del confronto, controllerò in primis il limite del rapporto. Cheers
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