Serie armonica

[amarolucano]

volevo sapere se c'è un metodo per sapere se data la serie armonica si piò stabilire quanti termini devo sommare affinchè la loro somma sia maggiore di un certo numero per esempio 100;

1+1/2+1/3+...+1/x > 100 cioè quanto vale quell' x.

[TomSawyer1]

Ti basta la relazione $\lim_{n\to+\infty} H_n - \log(n)=\gamma$, dove $H_n$ è l'n-esimo numero armonico e $\gamma=0.57721...$ è la costante di Euler-Mascheroni.

[Eredir]

Credo non ci siano modi semplici.
Puoi utilizzare qualche approssimazione derivante dalla rappresentazione integrale dell'n-esimo numero armonico data da $H_n=\int_0^1(1-x^n)/(1-x)dx$.
Una formula viene data ad esempio nella pagina relativa di Wikipedia nel paragrafo "Calculation".

[amarolucano]

ok, ma anche applicando la formula con il limite non trovo n, anzì la formula me lo chiede, potreste fare un esempio con numeri che so < 10

[TomSawyer1]

Ok. Sappiamo che $H_n ~~ \logn+\gamma$. Supponiamo di voler calcolare $n$ tale che $H_n>10$. Allora $n=[e^{10-\gamma}]$, dove le quadre indicano la parte intera superiore.

EDIT: nota che così ottieni anche il minimo intero con quella proprietà. Ad esempio, per 10, hai bisogno di 12367 termini.

[gugo82]

"TomSawyer":Ok. Sappiamo che $H_n ~~ \logn+\gamma$. Supponiamo di voler calcolare $n$ tale che $H_n>10$. Allora $n=[e^{10-\gamma}]$, dove le quadre indicano la parte intera superiore.

EDIT: nota che così ottieni anche il minimo intero con quella proprietà. Ad esempio, per 10, hai bisogno di 12367 termini.

Eh sì, la serie armonica diverge leeeeeeentamente!

[fu^2]

"amarolucano":volevo sapere se c'è un metodo per sapere se data la serie armonica si piò stabilire quanti termini devo sommare affinchè la loro somma sia maggiore di un certo numero per esempio 100;

1+1/2+1/3+...+1/x > 100 cioè quanto vale quell' x.

il discorso è questo (spero di non scrivere castronerie... visto che anche se abbiam fatto una cosa un pò diversa (cioè che è sempre minore di un n umeo fissato), questo risultato l'ho ritrovato da me... lo sottolineo percghè è il primo risultato che ho trovato ):

ci chiediamo se, fissato un n intero n e un reale x, la somma $1+1/2+1/3+...+1/p>nx$

iniziamo con $1+1/2+1/3+...+1/2^q>Kn$ a troncarla al termine $2^q:2^q risulta: $1+1/2+1/3+...+1/2^q<1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...+(1/2^n+...1/2^n)=1/2+1/2+1/2+...+1/2

insomma ti risulta n volte 1/2-> la somma è uguale a $n/2$
quindi il K fissato vale 1/2


quindi abbiamo che $sum_(k=1)^(2^q)1/k>n/2

poniamo $p=2^n->n=log_2p
quindi $sum_(k=1)^(2^n)1/k>1/2log_2p
considero ora un w tc $2^w ricordiamo che $1+1/2+1/3+...+1/2^w>1/2$
si quindi che $2w>log_2p->w>1/2log_2p->1/2w>1/4log_2p$

quindi $1+1/2+1/3+...+1/2^w>1/2w>1/4log_2p$
da (*) posso ricavare che $2^w=p$ e quindi ottengo che $1+1/2+1/3+...+1/p>1/4log_2p$
e quindi $sum_(k=1)^p1/k>1/4log_2p$

e questa ti daa un'approssimazione di quanti numeri servono.

infatti $sum_(k=1)^(100)1/k>1/4log_2(100)...

con un analogo procedimento, riesci a ricavare che $4log_2p>sum_(k=1)^p1/k>1/4log_2p$

spero non ci sian troppi errori di battitura, ora vado che ho l'esame di fisica!

ciao a tutti

[Sk_Anonymous]

Visto che siamo in argomento segnalo che esiste la relazione $H_x>ln(1+x)$, non molto dissimile da quella indicata da TomSawyer ma senza la presenza della costante di Eulero-Mascheroni.E' facile dimostrare la relazione.
Si parte da $e>(1+1/n)^n$ e passando ai logaritmin naturali $1/n>ln(1+1/n)$.Sommiamo ora sull'indice n da 1 al generico x ed otterremo :
$sum_1^x1/n>sum_1^x ln((n+1)/n)$
Ora la somma a secondo membro si trasforma nel log di un prodotto e semplificando si ottiene appunto $H_x>ln(1+x)$
Effettivamente la divergenza di $H_x$ e' lentissima ( se si vuole $H_x>100$ occorre sommare una cifra astronomica di termini !) ed è per questo che,in passsato, tale divergenza è rimasta per molto tempo seminascosta.
Ciao